Danh sách bài viết
Toán Chuyển động của kim đồng hồ là một dạng toán khó và trừu tượng nằm trong chương trình học Toán Tiểu học và là môn Toán nâng cao của HSG.
Để giúp các em học sinh phân biệt rõ, nắm vững công thức và cách giải nhanh, chính xác, tôi chia bài toán “chuyển động của hai kim đồng hồ” thành các dạng và cách giải như sau:
Toán 9
- Loại 1: Hai kim chồng lên nhau
- Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau.
- Loại 3: Hai kim thẳng hàng với nhau
- Dạng 4: Chuyển vị của hai kim chuyển động
Loại 1: Hai kim chồng lên nhau
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 chân lớn hơn 0
Câu hỏi: Bây giờ là 7 giờ. Sau bao lâu để kim phút trùng với kim giờ?
Phân tích: Kim phút và kim giờ chuyển động theo một đường tròn nên đây là dạng toán chuyển động cùng chiều. Ít nhất hãy tự hỏi kim phút trùng với kim giờ trong bao lâu? Chúng tôi hướng dẫn học viên các bước cụ thể sau:
– Giáo viên yêu cầu học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ trên đồng hồ thật để trả lời câu hỏi:
(?) Kim phút và kim giờ lúc 7 giờ ở đâu?
(kim phút ở vị trí 12, kim giờ ở vị trí 7)
(?) Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu?
(7/12 vòng)
(?) Khoảng cách giữa các kim khi kim phút và kim giờ trùng nhau là bao nhiêu?
(bằng 0)
(?) Kim phút đi được bao xa so với kim giờ?
(Vào thời điểm đó, kim phút di chuyển chính xác khoảng cách giữa các kim đồng hồ ở vị trí 7 giờ, tức là 7/12 vòng quay của đồng hồ so với kim giờ.)
(?) Mỗi giờ kim giờ và kim phút chuyển động được bao xa?
(Kim phút mỗi giờ chuyển động 1 vòng, còn kim giờ chỉ chuyển động 1/12 vòng đồng hồ nên kim phút chuyển động nhanh hơn kim giờ trong một giờ: 1 – 1/12 = 11/12 của đồng hồ).
Vì vậy, đây là dạng toán “hai hạt đồng chuyển động đuổi theo nhau”, với khoảng cách ban đầu là 7/12 vòng quay và hiệu số giữa hai vận tốc là 11/12. Dựa trên hướng dẫn và phân tích này, học sinh sẽ áp dụng và giải quyết các câu hỏi sau:
sự hòa tan:
Trong một giờ, kim phút quay được một vòng và kim giờ quay được 1/12 vòng đồng hồ. Vậy hiệu số tốc độ giữa kim phút và kim giờ là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ)
Kim giờ ở vị trí 7 giờ cách kim phút 7/12 một vòng cách mạng.
Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút trùng với kim giờ là:
7/12: 11/12 = 7/11 (giờ)
Trả lời: 7/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim chia cho hiệu số tốc độ của chúng.
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim bằng 0.
Hỏi: Bây giờ là 12 giờ, ít nhất bao lâu nữa hai kim đồng hồ sẽ thẳng hàng?
Phân tích: Nhận thấy khoảng cách giữa hai kim lúc 12 giờ bằng 0 nên hướng dẫn học sinh giải như sau:
sự hòa tan:
Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ chỉ điểm 12. Vì kim phút chuyển động nhanh hơn kim giờ nên kim phút đã đi hết một vòng quay của kim đồng hồ là 1h trước khi hai kim gặp nhau là 1h.
Ở vị trí 1 giờ, kim phút chỉ về số 12 và kim giờ chỉ về số 1. Khoảng cách giữa các kim bây giờ là 1/12 của một vòng quay của đồng hồ.
Hiệu số tốc độ giữa hai kim là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ).
Vì lúc đó là lúc 1 giờ nên thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
1/12: 11/12 = 1/11 (giờ)
Từ 12h, thời điểm hai người nắm lấy tay nhau là:
1 + 1/11 = 12/11 (giờ)
Trả lời: 12/11 giờ
Cách tính: Lấy 1 và cộng thời gian ngắn nhất khi hai tay trùng nhau biết thời điểm hiện tại là 1h.
Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau.
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa hai kim đồng hồ nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 số vòng quay của đồng hồ.
Câu hỏi: Bây giờ là 3 giờ. Sau bao lâu để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau?
Phân tích: Lúc 3 giờ kim phút vuông góc với kim giờ nên khoảng cách giữa hai kim đồng hồ bằng 1/4 kim đồng hồ. Để kim phút lại vuông góc với kim giờ thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và tiếp tục cho đến khi khoảng cách giữa hai kim bằng 1/4 vòng quay của kim đồng hồ. Từ phân tích này, chúng tôi có các giải pháp sau:
sự hòa tan:
Chênh lệch tốc độ giữa kim phút và kim giờ là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ)
Lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim bằng 1/4 vòng quay của đồng hồ. Vậy thời gian tối thiểu cần thiết để kim phút vuông góc với kim giờ là:
(1/4 + 1/4): 11/12 = 6/11 (giờ)
Trả lời: 6/11 giờ
Cách tính: Cộng 1/4 khoảng cách giữa 2 kim và chia cho hiệu số tốc độ của chúng.
* Lưu ý: Khi hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi: “Lúc đó kim phút cao hơn kim giờ bao nhiêu?” Chúng ta cần chú ý:
Đây là một câu hỏi khá trừu tượng. Để học sinh dễ hình dung, giáo viên nên cho học sinh quan sát hình và nhận ra rằng: Khi kim phút và kim giờ tiếp tục tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã vượt qua kim giờ. Khi đó kim phút dịch chuyển 1/4 và 1/4 quãng đường so với kim giờ. Vậy từ lúc 3 giờ cho đến khi kim phút và kim giờ lại vuông góc với nhau thì kim phút chuyển động hơn kim giờ là: 1/4 + 1/4 = 1/2 (chu kỳ đồng hồ).
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lớn hơn 1/4 kim đồng hồ và nhỏ hơn hoặc bằng 3/4 kim đồng hồ.
Câu hỏi: Bây giờ là 5 giờ. Sau bao lâu để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau?
Phân tích: Lúc 5 giờ khoảng cách giữa hai kim bằng 5/12 vòng chạy của đồng hồ. Khi đặt hai bàn tay vuông góc với nhau thì khoảng cách giữa hai tay lúc này bằng 1/4 vòng quay của kim đồng hồ. Do đó, kim phút phải nhanh hơn kim giờ 5/12 – 1/4 = 1/6 quãng đường và lúc này hai kim sẽ vuông góc với nhau.
sự hòa tan:
Chênh lệch tốc độ giữa kim phút và kim giờ là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ)
Kim giờ ở vị trí 5 giờ cách kim phút 5/12 một vòng.
Thời gian tối thiểu cần thiết để kim phút vuông góc với kim giờ là:
(5/12 – 1/4): 11/12 = 2/11 (giờ)
Trả lời: 2/11 giờ
Phép tính: Trừ 1/4 khoảng cách giữa 2 kim và chia cho hiệu số tốc độ của chúng.
* Trường hợp 3: Khoảng cách giữa hai tay lớn hơn 3/4 lượt.
Câu hỏi: Bây giờ là 10 giờ. Sau bao lâu để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau?
Phân tích: Để giải đáp vấn đề này, chúng tôi hướng dẫn cụ thể như sau:
HS quan sát hình vẽ mặt đồng hồ lúc 10 giờ và nêu nhận xét:
Ở vị trí 10 giờ, kim phút ghi số 12 và kim giờ ghi số 10. Lúc này, khoảng cách (theo chiều kim đồng hồ) giữa kim phút và kim giờ là 5/6 của một vòng. Khoảng cách giữa kim giờ và kim phút (theo chiều kim đồng hồ) bằng 1/4 vòng quay của kim đồng hồ trước khi kim phút và kim giờ tạo thành một góc vuông. Khi kim phút và kim giờ vuông góc với nhau thì khoảng cách (theo chiều kim đồng hồ) từ kim phút đến kim giờ bằng 3/4 (1 – 1/4) vòng quay của đồng hồ. Do đó, khi kim phút và kim giờ vuông góc nhau thì quãng đường mà kim phút di chuyển được trên kim giờ bằng quãng đường ban đầu trừ đi 3/4 quãng đường đi của kim đồng hồ. Từ hướng dẫn phân tích này, học sinh sẽ dễ dàng giải quyết các câu hỏi sau:
sự hòa tan:
Lúc 10 giờ, khoảng cách giữa các kim (theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng quay của kim đồng hồ.
Khi kim phút và kim giờ vuông góc với nhau thì khoảng cách (theo chiều kim đồng hồ) từ kim giờ đến kim phút bằng 1/4 vòng quay của kim đồng hồ. Vậy lúc này khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (theo chiều kim đồng hồ) là:
1 – 1/4 = 3/4 (vòng đồng hồ)
Trong khoảng thời gian đó, kim phút di chuyển nhiều hơn kim giờ là:
5/6 – 3/4 = 1/12 (đồng hồ)
Hiệu số tốc độ giữa hai kim là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ).
Kể từ 10 giờ, thời gian tối thiểu cần thiết để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau là:
1/12: 11/12 = 1/12 (giờ)
Trả lời: 1/12 giờ
Phép tính: Lấy 3/4 khoảng cách giữa hai kim trừ đi và chia cho hiệu số tốc độ của chúng.
Loại 3: Hai kim thẳng hàng với nhau
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa hai tay nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 vòng quay đồng hồ.
Câu hỏi: Bây giờ là 4 giờ. Thời gian ngắn nhất mà hai kim đồng hồ có thể thẳng hàng với nhau là bao nhiêu?
Phân tích: Để hai kim đồng hồ thẳng hàng thì kim phút và kim giờ phải cách nhau 6/12 vòng quay (hoặc 1/2 vòng quay).
Lúc 4 giờ, khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 1/3 vòng quay. Khi đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với kim giờ), và để hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải vượt kim giờ hơn 1/2 thời gian.
Vì vậy, muốn thẳng hàng của hai kim thì kim phút phải đi được một quãng đường hơn kim giờ bằng tổng quãng đường ban đầu của hai kim và 1/2 vòng quay của kim đồng hồ.
sự hòa tan:
Chênh lệch tốc độ giữa kim phút và kim giờ là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ)
Lúc 4 giờ, kim giờ cách kim phút một vòng 1/3 vòng. Bây giờ nó đã bắt kịp kim giờ, để hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải vượt qua 1/2 vòng của kim giờ. Vậy kể từ lúc 4 giờ đến lúc hai kim thẳng đều thì kim phút phải dịch chuyển nhiều hơn kim giờ là:
1/3 + 1/2 = 5/6 (vòng đồng hồ)
Sau bao lâu thì hai kim thẳng hàng với nhau:
5/6: 11/12 = 10/11 (giờ)
Trả lời: 10/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng với 1/2 và chia cho hiệu số tốc độ giữa chúng.
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lớn hơn 1/2 vòng quay của kim đồng hồ.
Câu hỏi: Bây giờ là 10 giờ. Khi kim phút và kim giờ nằm trên một đường thẳng thì đó là mấy giờ?
Phân tích: Lúc 10 giờ, quãng đường ban đầu từ kim phút đến kim giờ là 5/6 vòng một vòng. Cho đến khi kim phút và kim giờ tạo thành một đường thẳng thì khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là 1/2 lượt. Khi kim phút và kim giờ thẳng hàng thì kim phút đi được 5/6 – 1/2 = 1/3 kim giờ. Chúng tôi có các giải pháp sau:
sự hòa tan:
Chênh lệch tốc độ giữa kim phút và kim giờ là:
1 – 1/12 = 11/12 (đồng hồ / giờ)
Lúc 10 giờ, kim giờ cách kim phút 5/6 một vòng. Để hai kim đồng hồ thẳng hàng thì kim phút và kim giờ phải cách nhau 1/2 khoảng cách của kim đồng hồ. Như vậy, kể từ lúc 10 giờ cho đến khi hai kim thẳng hàng, kim phút chuyển động nhiều hơn kim giờ:
5/6 – 1/2 = 1/3 (vòng đồng hồ)
Từ 10 giờ, thời gian để kim phút và kim giờ thẳng hàng là:
1/3: 11/12 = 4/11 (giờ)
Đó là:
10 + 4/11 = 114/11 (giờ)
Trả lời: 114/11 giờ
Phép tính: Trừ 1/2 khoảng cách giữa 2 kim và chia cho hiệu số tốc độ giữa chúng.
Dạng 4: Chuyển vị của hai kim chuyển động
Câu hỏi: Lan ngồi làm bài tập cô giáo gửi về nhà. Lan làm bài xong thì thấy kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau. Lan mất bao nhiêu phút để viết bài này?
Phân tích: Khi quay ngược hai kim đồng hồ thì kim phút di chuyển một khoảng nhất định từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ, kim giờ dịch chuyển một khoảng nhất định từ vị trí kim giờ đến vị trí kim giờ. Vị trí của kim giờ, vị trí của kim phút. Do đó, tổng quãng đường hai tay đi được bằng một vòng quay của kim đồng hồ. Vì vậy, để tính thời gian để hai kim chuyển vị, ta chia tổng quãng đường đi được của hai kim cho tổng vận tốc của hai kim.
sự hòa tan:
Từ lúc bắt đầu kiểm tra đến vị trí của hai kim, kim phút di chuyển một khoảng nhất định từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ, kim giờ dịch chuyển một khoảng nhất định so với vị trí kim giờ thì kim giờ chuyển động. đến vị trí kim phút. Do đó, tổng quãng đường hai tay đi được bằng một vòng quay của kim đồng hồ.
Kim phút mỗi giờ quay được một vòng và kim giờ chỉ quay được 1/12 vòng kim đồng hồ nên tổng vận tốc của hai kim là:
1 + 1/12 = 13/12 (đồng hồ / giờ).
Thời gian hoàn thành luận văn là:
1: 13/12 = 12/13 (giờ)
Trả lời: 13/12 giờ
Tính: Ta chia 1 cho tổng vận tốc của hai kim.
(Nguyễn Thị Bích Thủy – Giáo viên Trường Tiểu học Hậu Lộc – Lộc Hà)
Cùng chủ đề:
<< 30 chuyên đề chọn lọc và đáp án môn toán lớp 5 của học sinh lớp 5 >> >>