Danh sách bài viết
Các bài toán về chữ số tận cùng của biểu thức thuộc tài liệu Toán nâng cao lớp 4, lớp 5 dành cho các em học sinh nâng cao kiến thức.
Trung tâm Gia sư Tiến Bộ chia sẻ đến các bạn dạng toán này.
- Bảng 1: Xác định số chẵn và số lẻ
- Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của tích thừa số
- Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức kết hợp phép nhân và phép cộng
- Bảng 4: Tìm số lượng các số không kết thúc bằng
Bảng 1: Xác định số chẵn và số lẻ
Những điều cần nhớ:
Tổng của các số chẵn là số chẵn.
Tổng chẵn lẻ là số chẵn, tổng lẻ lẻ là số lẻ.
Hiệu của hai số chẵn là số chẵn và hiệu giữa hai số lẻ là số chẵn.
– Hiệu số giữa chẵn và lẻ (hoặc lẻ và chẵn) là số lẻ.
– Tích của các số lẻ là số lẻ và tích của các thừa số với các số chẵn là số chẵn.
Bài 1. Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 là số chẵn hay số lẻ?
Bài 2. Tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 là số chẵn hay số lẻ?
Bài 3. Không thực hiện các phép tính, hãy xác định xem các phép tính sau đúng hay sai?
a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423
b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161
Bài 4. Hỏi có các số tự nhiên a, b, c sao cho
S = (2 x a + 1) x (2 x b – 1) x (2 x a x b x c + 1) = 2013 x 2015 x 2016
Gợi ý: Hãy xem xét tính ngang bằng của cả hai bên.
Bài 5. Sự có hoặc không có của các số tự nhiên a, b, c sao cho:
(a + b) x (b + c) x (c + a) = 2013 x 2015 x 2017
Gợi ý: Hãy xem xét tính ngang bằng của cả hai bên.
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của tích thừa số
Nguyên tắc của dạng toán này là chúng ta phải tìm ra quy tắc lặp lại chữ số cuối cùng và quy tắc cho các nhóm.
*chú ý:
Phép nhân các số kết thúc bằng 5 luôn kết thúc bằng 5.
Phép nhân các số kết thúc bằng 1 luôn kết thúc bằng 1.
Phép nhân các số kết thúc bằng 6 luôn kết thúc bằng 6.
– Phép nhân các số có tận cùng là 0 luôn là nhân có tận cùng là 0.
Vì vậy, đối với bài toán tìm chữ số tận cùng của tích các số, ta nhóm sao cho 1 trong các số trên có kết thúc bằng 0, 1, 5, 6 xảy ra. Sau đó tính số nhóm và số thừa sau khi phân nhóm.
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của S = 2x2x2x… x2 (2013 số là 2)
Giải: Ta thấy rằng 2x2x2x2 = 16 kết thúc bằng 6.
Cứ 4 số thành nhóm 1 thì 2013 chia cho 4 được 503 có dư là 1 nên ta sẽ được 503 nhóm có dư là 1.
Ta gộp các nhóm lại: S = (2x2x2x2) x (2x2x2x2) x… .x (2x2x2x2) x 2 (có 503 nhóm)
Tích của 503 nhóm sẽ kết thúc bằng 6 và nhân với 2 sẽ kết thúc bằng 2.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của S = 3x13x23x… .x2013
Bài giải: Ta thấy rằng cứ 4 số kết thúc bằng 3 sẽ kết thúc bằng 1 khi nhân lên.
Ta đếm xem từ 3 đến 2013 có bao nhiêu số: (2013 – 3): 10 + 1 = 202 số.
Cứ 4 số lập thành một nhóm => 202 chia 4 được 50 với dư là 2.
Vậy có 50 nhóm và 2 phần dư. Tích của 50 nhóm kết thúc bằng 1 và phép nhân với 2 kết thúc bằng 9.
bài tập:
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của S = 4x4x4x… x4 (# 4/2013)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của S = 7x17x27x… x2017
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của S = 9x9x9x… .x9 (số 9 năm 2002)
Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức kết hợp phép nhân và phép cộng
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
S = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + 7 × 8 + 9 × 10 + 11 × 12 +…. + 2011 × 2012
Bài giải: Trong bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của một số có quy tắc lặp là 1,2,3… .10 rồi lùi về 1,2….
Nếu chúng ta tách biệt:
S = (1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + 7 × 8 + 9×10)
+ (11×12 + 13×14 + 15×16 + 17×18 + 19×20)
+….
+ (2001 × 2002 + 203 × 2004 + 2005 × 2006 + 207 × 2008 + 2009×2010)
+ 2011 × 2012
Nhìn vào sự phân tách ở trên, chúng ta có thể thấy rằng mỗi nhóm là tổng của 5 sản phẩm, và mỗi nhóm này sẽ có cùng một bit cuối cùng (tất cả đều là 0).
Nếu chữ số cuối cùng là 0, chúng ta thực sự không cần đếm lại các nhóm, (vì 0 nhân với nhiều đầu bằng 0). Tuy nhiên, chúng tôi đã xem xét số lượng nhóm để xem chúng tôi có thể tìm thấy bao nhiêu
Ghi số cuối cùng trong mỗi nhóm (in đậm). Khoảng cách của chúng tôi là 10:
Số nhóm là (2010-10): 10 + 1 = 201 nhóm.
Số lẻ cho ra thừa số, 2011 × 2012 kết thúc bằng 2, tổng của 201 nhóm kết thúc bằng 0 => S kết thúc bằng 2.
Bài 2: Tìm số tận cùng
S = 1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 + 7 × 9 + 9 × 11 + 11 × 13 +… + 2011 × 2013
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng
S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6 +… + 2011 × 2012 + 2012 × 2013
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của:
S = 1 + 1×2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + 1x2x3x4x5 + 1x2x3x4x5x6 +… + 1x2x3x… x2013
Trong bài này, chúng ta thấy rằng có rất nhiều tổng, nhưng không có quy tắc. Tuy nhiên, hãy đề phòng sự hiện diện của các con số, đặc biệt là số 5 và số chẵn. Tích của một số chẵn của 5 và 1 kết thúc bằng 0. Vậy bắt đầu từ tích 1x2x3x4x5 vừa chứa 2 và 5 nên sẽ kết thúc bằng 0 => tổng từ số thứ 5 sẽ kết thúc bằng 0.
Chữ S tận cùng là tận cùng của 4 số đầu: 1 + 1×2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 tận cùng là 3.
Bài 5: Tìm số tận cùng
S = 1×3 + 1x3x5 + 1x3x5x7 +… + 1x3x5x7x… x2013
Bảng 4: Tìm số lượng các số không kết thúc bằng
Đầu tiên, số 0 cuối cùng được hình thành như thế nào? 2 x 5 = 10,
2x5x2x5 = 100…
Cứ 1 thừa số 2 nhân với 1 thừa số 5 sẽ được thêm 0….
Bài 1: Tìm số chữ số 0 tận cùng bằng S = 1x2x3x4x5x… .x100
Bài giải: Để tìm số chữ số không cuối cùng, ta cần tìm thừa số của 2 và 5 trong tích trên. Vì thừa số 5 nhỏ hơn thừa số 2 (cứ 5 số liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 5, còn 2 số liền nhau thì có 1 số chia hết cho 2).
Vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm thừa số của 5. Lưu ý rằng thừa số 5 xuất hiện ở các đầu số 5, 10, 15….
Số 25 = 5 × 5 sẽ đóng góp 2 thừa số là 5…
Vậy số 125 = ??? đóng góp một hệ số là 5….
Các số chia hết cho 5 là: 5,10,… .100 => có (100-5): 5 + 1 = 20 số
Các số chia hết cho 25 là: 25, 50,75,100 => (100-25): 25 + 1 = 4 số.
Con số 25 cho chúng ta 2 thừa số là 5, nhưng nó đã được tính một lần trong dãy số 5,10,15,… 100, vì vậy chúng ta chỉ cần thêm 5 thừa số để mọi số chia hết cho 25.
=> Giai thừa của 5 là: 20 + 4 = 24
=> các số không kết thúc bằng 24
câu hỏi ?
- Trong bài trên ta chỉ xét các số có chia hết cho 25 không? Khi nào xét các số chia hết cho 125, 625 …
Nếu dãy số không bắt đầu bằng 1 mà bằng một số khác (ví dụ: 10x11x …. x105, làm thế nào để sửa nó?) Bài 2: Tìm số chữ số 0 tận cùng bằng: S = 1x2x3x… x126
Bài 3: Tìm số chữ số 0 tận cùng bằng S = 1x2x3x… .x625
Bài 4: Tìm số chữ số 0 tận cùng bằng S = 11x12x13x… .x85
Bài 5: Tìm số chữ số không ở sau: S = 100x 101 x102 x… x 225
Bài 6: Tìm số n lớn nhất sao cho tích sau có đúng 32 chữ số 0 ở tận cùng.
S = 1x2x3x… xn
Bài 7 (*): Tìm số các số không có:
S = 2x6x12x20x… x9900
Bài 8: Tìm số các số không có:
S = 5x10x15x20x… x100
Bài 9: Tích của tất cả các số tự nhiên không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 100 là bao nhiêu?
Bài 10: Gọi A là tổng của 25 chữ số tận cùng của tích 1x2x3x… x100. Gọi B là tổng của 25 chữ số cuối của tích 100x101x… x225. So sánh A và B, giải thích tại sao?
Bài 11: Cho tích S = 1x2x3x… x375. Phải gạch bỏ ít nhất bao nhiêu số trong tích trên để tạo ra các số còn lại khác không. Tìm số cuối cùng?
Cùng chủ đề:
<< Một số câu hỏi về tỉ số và tỉ số – Toán nâng cao lớp 5 Toán kí hiệu số chia lớp 5 >>