Lý thuyết về căn bậc hai – https://futurelink.edu.vn

Bởi

1. Căn thức bậc hai

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là : $ \ sqrt a $ và USD – \ sqrt a USD

Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Số USD 0 USD cũng được gọi là căn bậc hai số học của USD 0 USD .
+ ) $ \ sqrt a = x \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ { x ^ 2 } = a \ end { array } \ right. $
+ ) So sánh hai căn bậc hai số học :
Với hai số $ a, b USD không âm ta có $ a < b \ Leftrightarrow \ sqrt a < \ sqrt b USD .

Căn thức bậc hai

Với $ A $ là một biểu thức đại số, người ta gọi $ \ sqrt A $ là căn thức bậc hai của $ A $. Khi đó, $ A $ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn .$ \ sqrt A $ xác lập hay có nghĩa khi $ A $ lấy giá trị không âm .

Chú ý.:

Với \ ( a \ ge 0, \ ) ta có :+ Nếu \ ( x = \ sqrt a \ ) thì \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ { x ^ 2 } = a \ end { array } \ right. \ )+ Nếu \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ { x ^ 2 } = a \ end { array } \ right. \ ) thì \ ( x = \ sqrt a. \ )Ta viết \ ( x = \ sqrt a \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ { x ^ 2 } = a \ end { array } \ right. \ )

2. So sánh các căn bậc hai số học 

ĐỊNH LÍ:

Với hai số \ ( a ; b \ ) không âm ta có \ ( a < b \ Leftrightarrow \ sqrt a < \ sqrt b \ )

Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\) 

Ta có : \ ( 3 = \ sqrt 9 \ ) mà \ ( 9 > 7 \ ) suy ra \ ( \ sqrt 9 > \ sqrt 7 \ ) hay \ ( 3 > \ sqrt 7 \ )

Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$  

Với mọi số USD a $, ta có $ \ sqrt { { a ^ 2 } } = \ left | a \ right | $ .

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

USD \ sqrt { { A ^ 2 } } = \ left | A \ right | $ nghĩa là
USD \ sqrt { { A ^ 2 } } = A $ nếu $ A \ ge 0 $ và $ \ sqrt { { A ^ 2 } } = – A $ nếu USD A < 0 USD .

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức và kỹ năng với hai số $ a, b USD không âm ta có $ a < b \ Leftrightarrow \ sqrt a < \ sqrt b USD .

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $ \ sqrt { { A ^ 2 } } = \ left | A \ right | = \ left \ { \ begin { array } { l } \, \, \, \, A \, \, \, \, \, { \ rm { khi } } \, \, \, A \ ge 0 \ \ – A \, \, \, \, \, \, { \ rm { khi } } \, \, \, A < 0 \ end { array } \ right. $

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

– Đưa những biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ( thường thì là $ { \ left ( { a + b } \ right ) ^ 2 } = { a ^ 2 } + 2 ab + { b ^ 2 } $, $ { \ left ( { a – b } \ right ) ^ 2 } = { a ^ 2 } – 2 ab + { b ^ 2 } $ )
– Sử dụng hằng đẳng thức $ \ sqrt { { A ^ 2 } } = \ left | A \ right | = \ left \ { \ begin { array } { l } \, \, \, \, A \, \, \, \, \, { \ rm { khi } } \, \, \, A \ ge 0 \ \ – A \, \, \, \, \, \, { \ rm { khi } } \, \, \, A < 0 \ end { array } \ right. $

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kỹ năng và kiến thức biểu thức $ \ sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $ A \ ge 0. $

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\ ( \ sqrt A = B \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } B \ ge 0 \ \ A = { B ^ 2 } \ end { array } \ right. \ ) ; \ ( \ sqrt { { A ^ 2 } } = B \ Leftrightarrow \ left | A \ right | = B \ )
\ ( \ sqrt A = \ sqrt B \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } A \ ge 0 \ left ( { B \ ge 0 } \ right ) \ \ A = B \ end { array } \ right. \ ) ; \ ( \ sqrt { { A ^ 2 } } = \ sqrt { { B ^ 2 } } \ Leftrightarrow \ left | A \ right | = \ left | B \ right | \ Leftrightarrow A = \ pm B \ )