Danh sách bài viết
Hướng dẫn các em học sinh lớp 9 cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng lý thuyết nhắc lại và giải toán.
Trước hết chúng ta cần ôn lại những điều đã biết về tứ giác nội tiếp (định nghĩa, nhận biết kí hiệu về tứ giác nội tiếp).
- Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Cách chứng minh một đường tròn nội tiếp một tứ giác
- 1) 4 đỉnh cách đều 1 điểm
- 2) Tổng của hai góc đối diện là 180 °
- 3) Hai góc nội tiếp cùng cung
- 4) Tổng của 2 góc đối diện là đồng dư
- 5) Góc ngoài của đỉnh bằng góc đối diện của đỉnh đó
- 6) Hình tứ giác là những hình đặc biệt
- Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp
Khái niệm tứ giác nội tiếp
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp (đường tròn).
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Một tứ giác nội tiếp có các tính chất sau:
1) Có 4 đỉnh cách đều một điểm nào đó. Điểm này là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) thì OA = OB = OC = OD = R.
2) Tổng của hai góc đối diện là 180 °
Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì A + C = B + D = 180.
3) Góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đó tại đỉnh đó.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD: góc ngoài của đỉnh A bằng góc BCD, góc ngoài của đỉnh B bằng góc ADC, góc ngoài của đỉnh C bằng góc BAD và góc ngoài của D là bằng góc BAC.
4) Hai góc đồng dư nếu chúng nhìn về cùng một phía
Cho tứ giác nội tiếp ABCD thì: góc DAC = góc DBC; góc DBA = góc ACD; góc CBD = góc CAD; góc BAC = góc CDB.
Cách chứng minh một đường tròn nội tiếp một tứ giác
Để chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh tứ giác đó có một trong các ký hiệu sau:
1) 4 đỉnh cách đều 1 điểm
Chứng minh rằng bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O OA = OB = OC = OD
2) Tổng của hai góc đối diện là 180 °
Chứng minh rằng tổng hai góc đối diện trong một tứ giác là 180 °.
Nếu góc A + góc C = 180 ° hoặc góc B + góc D = 180 ° thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn
3) Hai góc nội tiếp cùng cung
Chứng minh rằng từ hai đỉnh kề cùng một cạnh thì hai góc dưới đồng dạng.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp DAC = góc DBC và DC nội tiếp
4) Tổng của 2 góc đối diện là đồng dư
Một tứ giác nội tiếp một đường tròn nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Đây là một trường hợp đặc biệt của cách thứ hai.
5) Góc ngoài của đỉnh bằng góc đối diện của đỉnh đó
Một tứ giác nội tiếp đường tròn có góc ngoại tiếp bằng góc trong của góc đối diện với đỉnh đó.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu góc ngoài của đỉnh A bằng góc C hoặc góc ngoài của đỉnh B bằng góc D.
6) Hình tứ giác là những hình đặc biệt
Chứng minh rằng tứ giác là một trong những hình đặc biệt. Nếu tứ giác là:
– Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân là những tứ giác nội tiếp.
– Hình thoi, hình bình hành không phải là tứ giác nội tiếp.
Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp
Sau đây là bài toán mà thầy Tian muốn chia sẻ với các bạn để chứng minh tứ giác nội tiếp có lời giải.
Bài 1. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là AB và AC (B, C là hai tiếp điểm). Lấy điểm M tại BC, kẻ đường thẳng tại M vuông góc với OM, cắt AB và AC lần lượt tại E, D và chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn.
phần thưởng
– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp
Có OM ⊥ ME (gt) nên góc OME bằng 90º
OB BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng 90º
Vậy tứ giác EBMO có hai cạnh góc vuông là OE nên tứ giác EBMO nội tiếp đường tròn đường kính OE.
– Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp khắc
Có OM OD (gt) nên góc OMD bằng 90 °
CD OC (CD là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90 °
Vậy tứ giác DCOM có hai cạnh góc vuông OD nên tứ giác DCOM nội tiếp đường tròn đường kính OD.
Bài tập 2. Ta cho đường tròn tâm O và đường kính AB = 2R. CD là đường kính tế bào. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, các đường thẳng AC và AD lần lượt cắt nhau tại P và Q. Chứng tỏ rằng tứ giác CPQD nội tiếp được trong đường tròn.
phần thưởng
Chúng ta có:
Có: Góc ADB là 90 ° (góc nội tiếp cắt hình bán nguyệt)
Từ (1) và (2) nó như sau:
⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.
Bài 3. Kẻ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O) qua điểm B nằm ngoài đường tròn (O) (C, D là các tiếp tuyến). Kẻ đường thẳng BMN từ B (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.
Một loại. Chứng minh rằng BM.BN = BH.BO.
b. Chứng tỏ tứ giác OHMN nội tiếp.
phần thưởng
Một loại. Ta có: BC = BD (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
OC = OD (bán kính đường tròn (O))
BO là phân giác đứng của CD BO ⊥ CD (1)
△ BMC và △ BCN có:
Vì vậy △ BMC tương tự như △ BCN (g.g)
Vì (1) ta có △ BCO vuông tại C đường cao CH:
Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.
b. Ta có: BM.BN = BH.BO (như minh họa ở trên)
△ BMO và △ BHN có:
⇒ △ BMO đồng dạng với △ BHN (c.g.c)
⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn về một phía).
Bài 4. Cho tâm đường tròn là O, điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME
Một loại. Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF.
b. Gọi H là hình chiếu đứng của điểm C trên đường thẳng MO. Chứng tỏ rằng tứ giác AHOB nội tiếp.
phần thưởng
Một loại. Hai tam giác MAE và MBF có:
⇒ △ MAE tương tự với △ MBF (g.g)
Nên:
b. Do hệ số trong hình tròn, ta có:
MA.MB = MC2
Mặt khác, hệ thức lượng giác trong tam giác vuông MCO cho ta:
MH.MO = MC2 ⇒ MA.MB = MH.MO
⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp được đường tròn.
Bài tập 5. Cho hình bán nguyệt có tâm O và đường kính AB = 2R. Gọi C và D là hai điểm trên một hình bán nguyệt sao cho C nằm trên dây cung AD và góc COD bằng 120º. Gọi giao điểm của AD với BC và E và giao điểm của AC và BD là F.
Một loại. Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b. Tính bán kính đường tròn đi qua C, E, D, F trên theo R.
Một loại. Ta có: C, D thuộc đường tròn nên:
phần thưởng:
Hai điểm C, D cùng nhìn đoạn thẳng FE những góc đẳng giác 90º nên 4 điểm C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.
b. Gọi I là trung điểm của EF thì ID = IC là bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm C, D, E, F nói trên.
Ta có: IC = ID; OC = OD (bán kính tâm O)
IO là tia phân giác CD OI là tia phân giác của góc COD
Vì O là trung điểm của AB và tam giác ADB vuông góc với D nên tam giác ODB cân tại O.
Vì ID = IF nên tam giác IFD cân tại I.
Tam giác AFB có hai đường cao AD và BC cắt nhau tại E nên E là tâm trung trực của tam giác.
⇒ FE là dòng cao thứ ba.
⇒ FE vuông góc với AB tại H
Giảm từ (1), (2), (3):
Xét một tam giác vuông IDO có góc IDO bằng 60º
Chúng ta có:
Bài 6. Cho hình bán nguyệt (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Vẽ tiếp tuyến AF với bán nguyệt (O) (F là tiếp tuyến) và tia AF cắt tiếp tuyến Bx của bán nguyệt (O) tại D (tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng của cạnh BC, kể cả bán nguyệt (O)). Gọi H là giao điểm của BF và DO, K là giao điểm thứ hai của DC và hình bán nguyệt (O).
Một loại. Chứng minh: AO.AB = AF.AD.
b. Chứng tỏ rằng tứ giác KHOC nội tiếp.
phần thưởng:
Một loại. AF, BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AF OF, BD AB
Hai tam giác vuông AOF và ADB có một góc chung OAF
Vì vậy, △ AOF tương tự như △ ADB (g.g)
Từ:
b. Ta có: DB = DF (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
OB = OF (bán kính)
Vậy OD là phân giác đứng của BF
Nguồn gốc: OD BF
Tương tự, góc BKC bằng 90º (góc nội tiếp cắt đường tròn (O)) ⇒ tứ giác KHOC là tứ giác nội tiếp.
Bài học 7. Cho ABCD là hình thang cân (AB> CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D, tại đó chúng gặp nhau tại E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng tứ giác AEDM nội tiếp một đường tròn.
phần thưởng:
Chúng ta có:
Do đó, tứ giác AEDM nội tiếp được một đường tròn.
Bài 8. Cho hai điểm A, B cố định, góc xAy bằng 60º (B thuộc khu vực trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H và đường thẳng BM. cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và HK.
Một loại. Chứng minh HK = 2MN
b. Chứng minh rằng tứ giác MINJ nội tiếp được trong một đường tròn.
phần thưởng:
Một loại. Tứ giác MNKH nội tiếp
⇒ △ AMN đồng dạng với △ AKH (g.g)
Vậy KH = 2MN.
b. Tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn đường kính AB.
⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN.
(Góc ở tâm và góc nội tiếp cung tròn ngoại tiếp MN của tứ giác AMBN)
Tứ giác MNKH nội tiếp đường tròn tâm J và đường kính HK nên:
Từ (1) và (2) có:
⇒ Tứ giác MINJ nội tiếp được trong đường tròn.
Bài 9. Cho 2 điểm A, B (OB> OA> 0) vuông góc xOy và Ox, điểm M bất kỳ trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt các tia MA, MB lần lượt tại hai điểm C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm F thứ hai.
Một loại. Chứng minh rằng bốn điểm: O, A, E, M nằm trên một đường tròn.
b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?
phần thưởng:
Một loại.
Xét tứ giác OAEM:
⇒ O, A, E, M cùng nằm trên một đường tròn.
b. Nội tiếp tứ giác OAEM, ta được:
Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đường tròn (T) nên:
vì thế:
Vậy tứ giác OCFM là hình thang.
Bài 10. Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Lấy điểm C (AB> BC) trên tia đối của tia AB. Vẽ đường tròn tâm O ‘và đường kính BC. Gọi là trung điểm của AC. Kẻ dây MN vuông góc với AC tại I, MC tại D cắt tâm O ‘.
Một loại. Quad AMCN là gì? Tại sao?
b. Chứng minh rằng tứ giác NIDC nội tiếp.
phần thưởng:
Một loại. Ta có: AB MN (gt)
I là trung điểm của MN
trong đó IA = IC (gt)
Do đó, tứ giác AMCN là hình thoi vì hai đường chéo AC và MN vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi cạnh.
b. Có một góc ANB bằng 90º BN AN
trong đó AN // MC (đối diện với hình thoi AMCN)
Bệnh nhân suy luận MC (1)
Một lần nữa chúng ta nhận được: Góc BDC là 90º BD MC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm N, B, D thẳng hàng.
⇒ Góc NDC là 90º, nhưng góc NIC là 90º (vì AC ⊥ MN)
Suy ra tứ giác NIDC nội tiếp đường tròn đường kính NC.