Cho hai tập hợp (X,Y ne emptyset), một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x (in) X với duy nhất phần tử y (in) Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu: f : X → Y
(x, mapsto y = f(x))
Khi đó X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định) và Y gọi là tập hợp đích (miền ảnh).
Nhận xét : f : X → Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất ((in) Y)
Ánh xạ f : X → R với (X subset R) được gọi là một hàm số thực với biến số thực số thực.
Cho ánh xạ f : X → Y
(A subset X), ảnh của tập A là (f(A) = left{ {f(x) in Yleft| {x in A} right.} right})
Ảnh ngược của (B subset Y) là ({f^{ – 1}}(B) = left{ {x in Xleft| {f(x)} right. in B} right})
Đặc biệt khi (B = left{ y right} subset Y) ta viết ({f^{ – 1}}({ y} ) = {f^{ – 1}}(y) = left{ {x in Xleft| {f(x) = y} right.} right})
(x in {f^{ – 1}}(y)) được gọi là ảnh ngược của y
Ví dụ: Cho f : R → R, f(x) = x2 và B = {-5, 2, 4, 9, 0}
Thì
(begin{array}{l} {f^{ – 1}}left( B right) = {rm{ }}left{ { pm sqrt 2 , pm 2, pm 3,0} right}\ {f^{ – 1}}left( {169} right) = left{ { pm 13} right};{f^{ – 1}}left( { – 3} right) = {rm{ }}emptyset \ {f^{ – 1}}left( 2 right) = left{ { pm sqrt 2 } right};{f^{ – 1}}left( { – 5} right) = emptyset end{array})
Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y.
Ta có:
(f(X) = Y Leftrightarrow forall y in Y,exists in X:f(x) = y)
(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm.
( Leftrightarrow forall y in Y,{f^{ – 1}}(y) ne emptyset)
Ví dụ:
i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì ({f^{ – 1}}( – 2) = emptyset) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)
ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vì (forall y in {R^ + }), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn có nghiệm (x = pm sqrt y)
Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y.
Cho ánh xạ f: X → Y.
f là đơn ánh (forall {x_1},{x_2} in X,va,{x_1} ne {x_2} Rightarrow f({x_1}) ne f({x_2}))
Ta có: f là đơn ánh
“( Leftrightarrow forall {x_1},{x_2} in X) và f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2”
(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có nhiều nhất là một nghiệm”
(Leftrightarrow forall y in Y,{f^{ – 1}}(y) = emptyset) hay ({f^{ – 1}}(y)) có đúng một phần tử”
Ví dụ:
f : R → R , f(x) = x2 không là đơn ánh vì f(-2) = f(2) = 4
f : R+ → R hay R- → R, f(x) = x2 là đơn ánh
f : R → R, (f(x) = frac{{3x – 5}}{7}) là đơn ánh vì
(begin{array}{l} forall {x_1}{x_2} in R,,va,,f({x_1}) = f({x_2})\ Leftrightarrow frac{{3{x_1} – 5}}{7} = frac{{3{x_2} – 5}}{7} Leftrightarrow {x_1} = {x_2} end{array})
Cho ánh xạ f: X → Y.
f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh.
Ta có: f là song ánh
(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình f(x) = y có duy nhất nghiệm
Cho hai ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z.
Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa h(x) = g[f(x)], (forall x in X)
Ký hiệu: h = gof được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g.
Ví dụ:
(begin{array}{l} f:R to [5; + infty ),f(x) = {x^2} + 5\ g:,[5; + infty ) to {R^ – },,g(x) = – sqrt {x + 2} end{array})
Thì ({g_o}f(x) = g({x^2} + 5) = – sqrt {({x^2} + 5) + 2} = – sqrt {{x^2} + 7})
Ví dụ: (f,g:R to R;f(x) = 3{x^2} – x;,,g(x) = frac{{2x + 5}}{4})
Thì
({g_o}f(x) = g(3{x^2} – x) = frac{{2(3{x^2} – x) + 5}}{4} = frac{{6{x^2} – 2x + 5}}{4})
({f_o}g(x) = fleft( {frac{{2x + 5}}{4}} right) = 3{left( {frac{{2x + 5}}{4}} right)^2} – frac{{2x + 5}}{4} = frac{{12{x^2} + 52x + 55}}{{16}})
Nhận xét:
- Thông thường, ({g_o}f ne {f_o}g)
- ({left( {{g_o}f} right)^{ – 1}} = {f^{ – 1}}_o{g^{ – 1}}) (giả sử f, g là song ánh)
- ({f^{ – 1}}_o{f^{ – 1}}(y) = y,forall y in Y) (f:X → Y là song ánh)
- ({f^{ – 1}}_o{f^{ – 1}}(x) = x,forall x in X) (f:X → Y là song ánh)
- Giả sử ({f_o}({g_o}h)) tồn tại, ta có: ({({f_o}g)_o}h = {f_o}({g_o}h))
- Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con {1, 2, 3,…, n} của N . Khi đó, ta viết: CardA = n hay |A| = n.
- Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.
- Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B.
- Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N . Khi đó, nếu N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N .