Lý thuyết phương trình đường thẳng>

Bởi

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :vectơ \ ( \ vec { u } \ ) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \ ( ∆ \ ) nếu \ ( \ vec { u } \ ) ≠ \ ( \ vec { 0 } \ ) và giá của \ ( \ vec { u } \ ) song song hoặc trùng với \ ( ∆ \ )

Nhận xét :

– Nếu \ ( \ vec { u } \ ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \ ( ∆ \ ) thì \ ( k \ vec { u } ( k ≠ 0 ) \ ) cũng là một vectơ chỉ phương của \ ( ∆ \ ), do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương .- Một đường thẳng trọn vẹn được xác lập nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng \ ( ∆ \ ) đi qua điểm \ ( M_0 ( x_0 ; y_0 ) \ ) và nhận vectơ \ ( \ vec { u } = ( u_1 ; u_2 ) \ ) làm vectơ chỉ phương là :\ ( ∆ \ ) : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = x_ { 0 } + tu_ { 1 } và \ \ y = y_ { 0 } + tu_ { 2 } và \ end { matrix } \ right. \ )- Khi \ ( u_1 ≠ 0 \ ) thì tỉ số \ ( k = \ dfrac { u_ { 2 } } { u_ { 1 } } \ ) được gọi là thông số góc của đường thẳng .Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \ ( ∆ \ ) đi qua điểm \ ( M_0 ( x_0 ; y_0 ) \ ) và có thông số góc k là :\ ( y – y_0 = k ( x – x_0 ) \ )

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa : Vectơ \ ( \ vec { n } \ ) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \ ( ∆ \ ) nếu \ ( \ vec { n } \ ) ≠ \ ( \ vec { 0 } \ ) và \ ( \ vec { n } \ ) vuông góc với vectơ chỉ phương của \ ( ∆ \ )

Nhận xét:

– Nếu \ ( \ vec { n } \ ) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \ ( ∆ \ ) thì k \ ( \ vec { n } \ ) \ ( ( k ≠ 0 ) \ ) cũng là một vectơ pháp tuyến của \ ( ∆ \ ), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến .- Một đường thẳng được trọn vẹn xác lập nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó .

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa : Phương trình \ ( ax + by + c = 0 \ ) với \ ( a \ ) và \ ( b \ ) không đồng thời bằng \ ( 0 \ ), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .Trường hợp đặc biết :+ Nếu \ ( a = 0 => y = \ dfrac { – c } { b } ; ∆ / / Ox \ ) hoặc trùng Ox ( khi c = 0 )+ Nếu \ ( b = 0 => x = \ dfrac { – c } { a } ; ∆ / / Oy \ ) hoặc trùng Oy ( khi c = 0 )+ Nếu \ ( c = 0 => ax + by = 0 => ∆ \ ) đi qua gốc tọa độ+ Nếu \ ( ∆ \ ) cắt \ ( Ox \ ) tại \ ( A ( a ; 0 ) \ ) và \ ( Oy \ ) tại \ ( B ( 0 ; b ) \ ) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \ ( ∆ \ ) :\ ( \ dfrac { x } { a } + \ dfrac { y } { b } = 1 \ )

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0Điểm \ ( M_0 ( x_0 ; y_0 ) \ ) ) là điểm chung của ∆ 1 và ∆ 2 khi và chỉ khi \ ( ( x_0 ; y_0 ) \ ) là nghiệm của hệ hai phương trình 🙁 1 ) \ ( \ left \ { \ begin { matrix } a_ { 1 } x + b_ { 1 } y + c_ { 1 } = 0 và \ \ a_ { 2 } x + b_ { 2 } y + c_ { 2 } = 0 và \ end { matrix } \ right. \ )

Ta có những trường hợp sau :a ) Hệ ( 1 ) có một nghiệm : ∆ 1 cắt ∆ 2b ) Hệ ( 1 ) vô nghiệm : ∆ 1 / / ∆ 2c ) Hệ ( 1 ) có vô số nghiệm : ∆ 1 \ ( \ equiv \ ) ∆ 2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau tạo thành 4 góc .Nếu ∆ 1 không vuông góc với ∆ 2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 .Nếu ∆ 1 vuông góc với ∆ 2 thì ta nói góc giữa ∆ 1 và ∆ 2 bằng 900 .Trường hợp ∆ 1 và ∆ 2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆ 1 và ∆ 2 bằng 00 .Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 được kí hiệu là \ ( \ widehat { ( \ Delta _ { 1 }, \ Delta _ { 2 } ) } \ )Cho hai đường thẳng :∆ 1 : a1x + b1y + c1 = 0∆ 2 : a2x + b2y + c2 = 0Đặt \ ( \ varphi \ ) = \ ( \ widehat { ( \ Delta _ { 1 }, \ Delta _ { 2 } ) } \ )\ ( \ cos \ varphi \ ) = \ ( \ dfrac { | a_ { 1 }. a_ { 2 } + b_ { 1 }. b_ { 2 } | } { \ sqrt { { a_ { 1 } } ^ { 2 } + { b_ { 1 } } ^ { 2 } } \ sqrt { { a_ { 2 } } ^ { 2 } + { b_ { 2 } } ^ { 2 } } } \ )

Chú ý:

+ \ ( { \ Delta _1 } \ bot { \ Delta _2 } \ Leftrightarrow { n_1 } \ bot { n_2 } \ ) \ ( \ Leftrightarrow { a_1 }. { a_2 } + { b_1 }. { b_2 } = 0 \ )+ Nếu \ ( { \ Delta _1 } \ ) và \ ( { \ Delta _2 } \ ) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + mét vuông thì\ ( { \ Delta _1 } \ bot { \ Delta _2 } \ Leftrightarrow { k_1 }. { k_2 } = – 1 \ )

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho đường thẳng \ ( ∆ \ ) có phương trình \ ( ax + by + c = 0 \ ) và điểm \ ( M_0 ( x_0 ; y_0 ) \ ) ) .

Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức

\ ( d ( M_0, ∆ ) = \ frac { | ax_ { 0 } + by_ { 0 } + c | } { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \ )


Loigiaihay.com