Cách tính nhân tử của đa thức theo một số cách:
– Một cách để chia một mục thành nhiều mục.
– Phương pháp cộng trừ cùng một hạng mục.
a) Cộng hoặc trừ cùng một số hạng tạo ra hiệu của hai bình phương.
b) Cộng hoặc trừ cùng một số hạng cho ra một thừa số chung.
– phương thức biến (hoặc phương thức để đặt ẩn con)
phương pháp hệ số bất định.
– Phương pháp đánh giá eigenvalue.
Ví dụ 1: Nhân tử các đa thức sau: (kết hợp với các phương pháp trên)
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b) 3 – 3ab (a + b) + c3 – 3abc
= [(a + b) 3 + c3] – [3ab (a + b) + 3abc] =
= (a + b + c) [(a + b) 2 – (a + b) c + c2] – 3ab (a + b + c)
= (a + b + c) [a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Ví dụ 2: Rút gọn một đa thức: (sử dụng phương pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng)
3×2 – 8x + 4
Đa thức không chứa nhân tử chung, không có dạng hằng đẳng thức đáng nhớ và không thể nhóm các hạng tử. Chúng tôi chuyển đổi đa thức này thành một đa thức với nhiều số hạng hơn.
Phương pháp 1: (tách mục thứ hai)
3×2 – 8x + 4 = 3×2 – 6x – 2x + 4 = 3x (x – 2) – 2 (x – 2) = (x – 2) (3x – 2)
Phương pháp 2: (tách mục đầu tiên)
3×2 – 8x + 4 = 4×2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2) 2 – x2
= (2x – 2 + x) (2x – 2 – x) = (3x – 2) (x – 2)
Lưu ý: Trong chế độ 1, số hạng – 8x được chia thành hai số hạng – 6x và – 2x. Trong đa thức 3×2 – 6x – 2x + 4, hệ số của các số hạng là 3; – 6; – 2; 4. Hệ số thứ hai và hệ số thứ tư đều bằng -2 lần hệ số liền trước nên nhân tử chung là x – 2.
Nói chung: để phân rã một tam thức bậc hai ax2 + bx + c, chúng ta phân tích bx thành b1x + b2x sao cho
Trong thực tế, chúng tôi làm như sau:
– Bước 1: Tìm sản phẩm a.c
– Bước 2: Phân tích a.c để lấy tích của hai thừa số nguyên tố.
– Bước 3: Chọn hai thừa số tổng thành b.
Trong bài tập trên, đa thức 3×2 – 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4. Sản phẩm a.c = 3,4 = 12
tính thừa số 12 cho tích của hai thừa số cùng dấu (vì tích của chúng là 12) và cùng một số âm (do đó tổng của chúng là -8)
12 = (-1) (- 12) = (-2) (- 6) = (-3) (- 4)
Chọn hai thừa số có tổng bằng – 8, cụ thể là – 2 và – 6.
Ví dụ 3: Thu gọn một đa thức:
4×2 – 4x – 3
Phương pháp 1: (tách mục thứ hai)
4×2 – 4x – 3 = 4×2 + 2x – 6x – 3 = 2x (2x + 1) – 3 (2x + 1) = (2x + 1) (2x – 3)
Phương pháp 2: (tách mục thứ ba)
4×2 – 4x – 3 = 4×2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1) 2 – 22 = (2x – 1 + 2) (2x – 1 – 2)
= (2x + 1) (2x – 3)
Nhận xét:
Từ hai bài tập trên, chúng ta có thể thấy rằng việc tách 1 số hạng thành nhiều số hạng khác là không bình thường:
– Làm xuất hiện hệ số tỷ lệ, do phép đo, hệ số chung xuất hiện (chế độ 1)
– Làm cho sự khác biệt của hai hình vuông xuất hiện (Cách 2)
Đối với những đa thức có bậc lớn hơn 3, để dễ xuất hiện hệ số tỉ lệ người ta thường dùng phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức.
Ví dụ 4: Thu gọn một đa thức:
a) x2 – 6x + 5
Đối với mỗi vấn đề, chúng ta có thể biến đổi và giải quyết nó theo một số cách khác nhau:
Phương án 1: x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x (x – 1) – 5 (x – 1) = (x – 1) (x – 5)
Phương án 2: x2 – 6x + 5 = x2 – 6x + 9 – 4 = (x – 3) 2 – 22 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 5) (x – 1)
Cách 3: x2 – 6x + 5 = x2 – 2x + 1 – 4x + 4 = (x – 1) 2 – 4 (x – 1) = (x – 1) (x – 1 – 4)
= (x – 1) (x – 5)
Cách 4: x2 – 6x + 5 = x2 – 1 – 6x + 6 = (x – 1) (x + 1) – 6 (x – 1) = (x – 1) (x + 1 – 6)
= (x – 1) (x – 5)
Cách 5: x2 – 6x + 5 = 3×2 – 6x + 3 – 2×2 + 2 = 3 (x – 1) 2 – 2 (x2 – 1)
= (x – 1) (3x – 3 – 2x – 2) = (x – 1) (x – 5)
Phương án 6: x2 – 6x + 5 = 5×2 – 10x + 5 – 4×2 + 4x = 5 (x – 1) 2 – 4x (x – 1)
= (x – 1) (5x – 5 – 4x) = (x – 1) (x – 5)
Phương án 7: x2 – 6x + 5 = 6×2 – 6x – 5×2 + 5 = 6x (x – 1) – 5 (x – 1) (x + 1)
= (x – 1) (6x – 5x – 5) = (x – 1) (x – 5)
b) x4 + 2×2 – 3
Phương án 1: x4 + 2×2 – 3 = x4 – x2 + 3×2 – 3 = x2 (x2 – 1) + 3 (x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1) (x + 1) (x2 + 3)
Phương án 2: x4 + 2×2 – 3 = x4 + 2×2 + 1 – 4 = (x2 + 1) 2 – 4 = (x2 + 1 – 2) (x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 3)
Cách 3: x4 + 2×2 – 3 = x4 + 3×2 – x2 – 3 = x2 (x2 + 3) – (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 – 1)
= (x – 1) (x + 1) (x2 + 3)
Cách 4: x4 + 2×2 – 3 = x4 – 1 + 2×2 – 2 = (x2 – 1) (x2 + 1) + 2 (x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 1 + 2) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 3)
Cách 5: x4 + 2×2 – 3 = x4 – 9 + 2×2 + 6 = (x2 – 3) (x2 + 3) + 2 (x2 + 3)
= (x2 + 3) (x2 – 3 + 2) = (x2 + 3) (x – 1) (x + 1)
Phương án 6: x4 + 2×2 – 3 = 3×4 – 3 – 2×4 + 2×2 = 3 (x4 – 1) – 2×2 (x2 – 1)
= (x2 – 1) (3×2 + 3 – 2×2) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 3)
Ví dụ 5: Tính nhân tử của một đa thức: (sử dụng phép cộng và phép trừ cùng một số hạng)
a) x4 + 64 = (x2) 2 + 82 + 2.×2.8 – 16×2 = (x2 + 8) 2 – 16×2
= (x2 + 8 – 4x) (x2 + 8 + 4x) = (x2 – 4x + 8) (x2 + 4x + 8)
b) x5 + x4 + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x3 – 1) = x3 (x2 + x + 1) – (x – 1) (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) (x3 – x + 1)
Ví dụ 6: Thu gọn một đa thức: (sử dụng phương pháp biến số)
a) (x2 + 2x) (x2 + 2x + 4) + 3
Cho x2 + 2x = t
Đa thức trên trở thành:
t (t + 4) + 3 = t2 + 4t + 3 = t2 + t + 3t + 3 = t (t + 1) + 3 (t + 1) = (t + 1) (t + 3)
Thay vào t = x2 + 2x, ta được:
(x2 + 2x + 1) (x2 + 2x + 3)
b) (x2 + 4x + 8) 2 + 3x (x2 + 4x + 8) + 2×2
Đặt t = x2 + 4x + 8
Đa thức trên trở thành:
t2 + 3x.t + 2×2 = t2 + 2tx + x2 + x2 + xt = (t + x) 2 + x (x + t) = (t + x) (t + x + x)
= (t + x) (t + 2x)
Thay vào t = x2 + 4x + 8, ta được:
(x2 + 4x + 8 + x) (x2 + 4x + 8 + 2x) = (x2 + 5x + 8) (x2 + 6x + 8)