Danh sách bài viết
Cách chứng minh một đoạn thẳng là trung trực của tam giác hoặc trung của hình thang trong chương trình hình học 8.
Trước tiên, chúng ta cần nhắc lại lý thuyết về đường trung trực của tam giác, hình thang.
Định nghĩa: Đường trung trực của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định nghĩa: Đường trung trực của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của hình thang.
Làm thế nào để chứng minh một đường trung bình động
Xác định đoạn giữa của tam giác:
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lý 2: Trung trực của tam giác song song với cạnh thứ ba và nửa cạnh của nó.
Xác định đường trung bình của hình thang:
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của hình thang và song song với đáy thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai.
Định lý 2: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng của hai đáy.
bài tập tự giải
Làm các bài tập sau dựa vào kiến thức trên.
Bài tập 1: Cho ABC là tam giác có AB = 5cm, AC = 7cm và BC = 9cm. Kéo AB tại điểm D sao cho BD = BA, và kéo dài AC tại điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC thành MI = MA.
1) Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE.
2) Chứng minh: a) DI // BC
b) Ba điểm D, I, E thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho ABC là tam giác có độ dài BC = a và M là trung điểm của AB.
Tia Mx // BC cắt AC tại N.
1) Chứng tỏ N là trung điểm của AC.
2) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a.
Bài tập 3: Cho tam giác MNP có MN = 4cm, MP = 6cm, NP = 8cm. Kéo MN lấy điểm I sao cho NI = NM, kéo dài MP lấy điểm K sao cho PK = PM, kéo trung tuyến MO của tam giác MNP lấy OS = OM.
1) Tính độ dài các cạnh của tam giác MIK.
2) Chứng minh rằng ba điểm I, S, K thẳng hàng.
3) Bằng chứng
Bài tập 4: Cho ABC là tam giác cân tại A, với M là trung điểm của BC. Vẽ Mx // AC cắt AB tại E, vẽ My // AB cắt AC tại F. chứng tỏ:
1) E, F là trung điểm của AB và AC.
2) EF =
3) ME = MF, AE = AF
Bài tập 5: Dựng tam giác cân OPQ tại O, với I là trung điểm của PQ. Vẽ IM // OQ (M thuộc OP), IN // OP (N thuộc OQ). chứng tỏ :
1) Tam giác IMN cân tại I.
2) OI là tia phân giác đứng của MN.
Bài tập 6: Cho ABC là tam giác cân tại A và đường cao AM. N là trung điểm của AC. Vẽ ax // BC cắt MN tại E. chứng tỏ:
1) M là trung điểm của BC. 2) ME // AB 3) AE = MC
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, cạnh bên nằm trong nửa mặt phẳng là AC và không có điểm B. Lấy điểm D bất kỳ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. chứng tỏ:
1) MN // PQ và MQ // NP.
2) MN + NP + PQ + MQ = AC + BD.
Bài tập 8: Cho ABC là tam giác có đường cao AH. anh ta
1) AB là tia phân giác thẳng đứng của MH và AC là trục chính giữa của HN.
2) Tam giác cân AMN.
3) EF // MN.
4) Trí tuệ nhân tạo
Bài tập 9: Cho ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của đường cao AH, CM cắt AB tại D, vẽ Hx // CD và cắt AB tại E. chứng tỏ:
1) DA = DE 2) AB = 3AD 3) CD = 4MD
Bài tập 10: Cho tam giác ABC, AB: AC: BC = 3: 4: 6. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Giả sử chu vi tam giác MNP là 5,2 cm, hãy tìm độ dài cạnh của tam giác ABC.
Bài tập 11: Cho ABC là tam giác có chu vi 36 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Cho NP: NM: MP = 4: 3: 2 Tính độ dài các cạnh của tam giác MNP.
Bài tập 12: Cho ABC là tam giác vuông tại A và trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm của AC.
1) Chứng minh MN
2) AMC là tam giác gì? tại sao
3) Chứng minh rằng 2AM = BC.
Bài tập 13: Cho ABC là tam giác nhọn có các đường cao BD và CE. Gọi M và N là trung điểm của BC và DE. chứng tỏ :
1) DM =
Bài tập 14: Cho tam giác ABC nằm trên AC, lấy thứ tự là các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. Gọi M là trung điểm của BC và BD cắt AM tại I. chứng tỏ:
1) Ta // BD. 2) I là trung điểm của AM. 3) Chứng minh thư =
Bài tập 15: Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến. Lấy D thuộc AC sao cho AD =
1) AD = DE = EC.
2) I là trung điểm của AM
3)
4)
Bài tập 16: Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến. Gọi D là trung điểm của AM và BD cắt AC tại E. Đánh dấu MK // BE (K thuộc EC). chứng tỏ:
1) K là trung điểm của CE 2) CE = 2AE
Bài 17: Cho tam giác ABC với AM là trọng tâm. Gọi D là trung điểm của AM và BD và AC cắt nhau tại I. Chứng minh AI =
Bài 18: Cho ABC là tam giác trong đó hai trung tuyến BD và CE cắt nhau G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB và GC. chứng tỏ:
1) DE // IK và DE = IK.
2)
Bài 19: Cho ABC là tam giác trong đó hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GB và GC. chứng tỏ:
1) IE // DK và IE = DK
2)
Bài tập 20: Cho tam giác ABC với H là trung tâm và M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng vuông góc với HM qua H cắt AB và AC lần lượt tại E và F, lấy HD = HC trên tia đối HC. chứng tỏ:
1) HM // BD 2) E là tâm trung trực của tam giác HBD
3) DE // AC 4) EH = HF
Bài 21: Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB
1) Chứng tỏ rằng CA là tia phân giác của góc BCD.
2) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC và BD. Chứng minh rằng M, N, E, F thẳng hàng
Bài 22: Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB
1) Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC
2) Tứ giác EFQP là hình gì? Tại sao?
3) Tính MN, EF, PQ cho AB = 8cm và CD = 12cm
4) À
Bài 23: Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB
1) Chứng minh BM = MN = NP = PC
2) Biết CD = 10cm, FN = 6cm, tính GP, EM, AB
3) Bằng chứng
Bài 24: Cho tam giác ABC. Lấy AD = DE = EB trên cạnh AB. Kẻ các đường thẳng song song với BC từ D và E, cắt cạnh AC lần lượt tại M và N. chứng tỏ:
1) M là trung điểm của AN
2) AM = MN = NC
3) 2EN = DM + BC
4)
Bài 25: Cho tam giác MNP có MI là trung tuyến của tam giác. Trên MP, MK = KH = HP, NK cắt MI tại O.
1) Tứ giác OKHI là hình gì?
2) Chứng minh NO = 3OK
3) So sánh
Bài tập 26: Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao AH = 3cm, AB = 5cm, CD = 8cm. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC
1) Chứng minh rằng E, I và F thẳng hàng.
2) Tính toán
3) So sánh
Bài 27: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC
1) Chứng minh: EI // CD và IF // AB
2) Chứng minh: EF
3) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EF =
Bài 28: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của MN và BD và AC. Cho AB = 6cm, CD = 14cm
1) Tính độ dài MI, IK, KN
2) Tính toán
Bài 29: Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BD và CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Gọi I, K là giao điểm của MN với BD và CE. chứng tỏ:
1) EDCB là hình thang
2) I là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE
3) MI = IK = KN
Bài 30: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, I, K, N lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC và BC. chứng tỏ:
1) M, I, K thẳng hàng
2) MK =
3) IK =
Bài 31: Cho hình thang ABCD là hình thang AB // CD (AB
1) Chứng minh rằng tam giác AMD và tam giác BNC đều đúng
2) Chứng minh rằng tam giác ADP và tam giác BCQ là các tam giác cân
3) Chứng minh MN // CD
4) Tính độ dài MN với a, b, c, d (cùng đơn vị đo)
Bài 32: Cho hình thang MNPQ (MN // PQ). Các tia phân giác của góc ngoài M và Q cắt nhau tại I. Các tia phân giác của góc ngoài N và P cắt nhau tại K. chứng tỏ:
1) Miễn phí
2) IK // PQ
Bài tập 33: Cho tứ giác ABCD với P, I, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD và BC.
1) Chứng minh rằng PI + IQ = (AB + CD) .PQ
2) Giả sử có PQ =
Bài tập 34: Cho tứ giác ABCD với P, I, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD và BC.
1) So sánh PI + IQ với AB + CD
2) Giả sử có PQ =
Bài 35: Vẽ các tam giác nhọn ABC và các tam giác vuông ABD và ACE tại B và C. Gọi M là trung điểm của DE, kẻ DN, AH, MI, EK vuông góc với BC tại N, H, I, K. chứng tỏ:
1) I là trung điểm của NK
2)
3) I là trung điểm của BC
4)
Bài 36: Cho tam giác ABC và G là hình bóng cân. Vẽ đường thẳng d qua G cắt AB và AC. Gọi I, M là trung điểm của AG và BC. Gọi A ‘, B’, C ‘, I’, M ‘lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, M trên d.
1) Chứng minh: GI = GM và II ‘=
2) Tìm mối quan hệ giữa độ dài AA ‘, BB’, CC ‘
Bài 37: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Vẽ đường thẳng d không song song với BC trên nửa mặt phẳng BC không chứa A. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CG. Gọi A ‘, B’, C ‘, I’, K ‘, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, K, G trên d.
1) Chứng minh: CK = KG = HOLD
2) Chứng minh: C’K ‘= K’G’ = G’T ‘và I’ là trung điểm của A’B ‘
3) Tìm mối quan hệ giữa độ dài AA ‘, BB’, CC ‘và GG’
Bài tập 38: Cho ABC là tam giác vuông tại A (AB
1) So sánh KA và KE.
2) Bằng chứng
3) Gọi M là trung điểm của DC. chứng tỏ