Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành – Toán 8

Bởi

Danh sách bài viết

Hướng dẫn học sinh lớp 8 cách chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng ký hiệu và ví dụ minh họa.

Để làm được các bài toán chứng minh hình học, chúng ta phải nắm được khái niệm, tính chất, cách chứng minh tứ giác cũng là hình bình hành.

  1. 1. Định nghĩa hình bình hành
  2. 2. Tính chất của hình bình hành
  3. 3. Nhận biết dấu của hình bình hành.
  4. Làm thế nào để chứng minh rằng một tứ giác là một hình bình hành?
    1. Chứng minh tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song
    2. Chứng minh rằng một tứ giác có 2 cặp cạnh đối nhau đồng dạng
    3. Chứng minh rằng một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và đồng dạng
    4. Chứng minh rằng các góc đối diện của một tứ giác bằng nhau
    5. Chứng minh rằng một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

1. Định nghĩa hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối diện song song với nhau.

Hình bình hành ABCD

Theo định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC.

2. Tính chất của hình bình hành

Hình bình hành ABCD

Trong hình bình hành ABCD có:

• Các cạnh đối diện bằng nhau: AB = CD và AD = BC.

• Các góc đối diện bằng nhau: góc A = góc C, góc B = góc D.

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng: OA = OC và OB = OD.

3. Nhận biết dấu của hình bình hành.

• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

• Tứ giác có các cạnh đối diện bằng nhau là hình bình hành.

• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

• Tứ giác mà hai đường chéo gặp nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Làm thế nào để chứng minh rằng một tứ giác là một hình bình hành?

Để chứng minh tứ giác là hình bình hành ta dựa vào định nghĩa, tính chất và kí hiệu để nhận biết những nội dung đã học về hình bình hành. Cụ thể có các cách sau:

Chứng minh tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song

Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Tại sao?

Chúng ta có:

EF là trung tuyến của tam giác ABC nên EF // AC (1)

Tương tự, HG là trung tuyến của tam giác ACD nên HG // AC (2)

Tìm HG // EF từ (1) và (2)

Kế tiếp:

FG là trung tuyến của tam giác CBD nên FG // BD (3)

Tương tự, HE là trung tuyến của tam giác ABD nên HE // BD (4)

Xuất phát HE // FG từ (3) và (4)

Coi tứ giác EFGH là:

HG // EF và HE // FG;

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành vì các cạnh đối diện song song. (dmcm)

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD (AB> BC). Tia phân giác của góc D gặp AB tại E và tia phân giác của góc B gặp CD tại F. Chứng minh rằng DEBF là hình bình hành.

Chúng ta có:

Góc B1 = D1 do một trong hai góc B và D bằng nhau trong hình bình hành ABCD

AB // CD (ABCD là hình bình hành) => góc B1 = F1 (so le trong)

Nhưng hai góc ở vị trí đồng vị => DE // BF

Xét tứ giác DEBF:

DE // BF (bằng chứng ở trên)

BE // DF (bởi AB // CD)

Vậy tứ giác DEBF là hình bình hành vì các cạnh đối diện song song. (dmcm)

Chứng minh rằng một tứ giác có 2 cặp cạnh đối nhau đồng dạng

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có ΔABC = ΔCDA. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Theo kết quả đầu ra, chúng ta có:

ΔABC = CDA => AD = BC và AB = CD

=> ABCD là hình bình hành có các cạnh đối diện bằng nhau.

Chứng minh rằng một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và đồng dạng

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD và F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.

Chúng ta có:

ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC

AD // BC => DE // BF (1)

E là trung điểm của AD => DE = AD / 2

F là trung điểm của BC => BF = BC / 2

trong đó AD = BC (ABCD là hình bình hành)

DE = BF (2)

Từ (1) và (2) => tứ giác DEBF là hình bình hành vì hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Chứng minh rằng các góc đối diện của một tứ giác bằng nhau

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có ΔABC = ΔADC và ΔBAD = ΔBCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Theo kết quả đầu ra, chúng ta có:

ΔABC = ΔADC => góc ABC = góc ADC (1)

ΔBAD = ΔBCD => góc BAD = góc BCD (2)

Từ (1) và (2) có thể thấy tứ giác ABCD là hình bình hành vì các góc đối diện bằng nhau.

Chứng minh rằng một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ AE từ A vuông góc với BD, và kẻ CF từ C vuông góc với BD. Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

Chúng ta có:

OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)

Xét hai tam giác vuông AEO và CFO:

Góc AEO = Góc CFO = 90 °

OA = OC

Góc AOE = Góc COF (ngược lại)

Vì vậy, AEO = CFO (giả sử – góc nhọn) => OE = OF (2)

Theo (1) và (2), tứ giác AECF là hình bình hành vì hai đường chéo gặp nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng đường chéo BD cắt AK và AI lần lượt tại M và N: AK // CI và DM = MN = NB

Chúng ta có:

AB // CD và AB = CD (vì ABCD là hình bình hành)

I, K lần lượt là trung điểm của AB, DC => AI = IB và DK = KC.

Tứ giác AICK có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AI và KC) nên AICK là hình bình hành nên AK // CI (phải chứng minh)

Tiếp theo chúng tôi có:

AM // print và MK // NC

Xét tam giác AMB:

buổi sáng // lúc

AI = BI (I là trung điểm của AB)

IN là trung tuyến của tam giác AMB

N là trung điểm của MB => MN = NB (1)

Tương tự, xét tam giác DNC:

MK // thường đóng

DK = CK (K là trung điểm của DC)

MK là trung tuyến của tam giác DNC

M là trung điểm DN => DM = NM (2)

Suy ra (1) và (2) DM = MN = NB (phải chứng minh).

Trên đây là những hướng dẫn của Trung tâm bồi dưỡng Học Sinh Giỏi Tiến Bộ về cách chứng minh một hình bình hành. Dựa trên mỗi câu hỏi, chúng tôi có cách tiếp cận hợp lý. Chúc may mắn