Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Hà Nội năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề).
Bộ Giáo dục và Đào tạo Hà Nội. bài kiểm tra toán.
Bài 1 (2,0 điểm)
cho trước hai biểu thức
1) Đánh giá biểu thức A khi x = 9.
2) Bằng chứng
3) Tìm tất cả các giá trị của x để
Bài 2 (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách xây dựng phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 28 mét, chiều dài đường chéo là 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.
Bài 3 (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2) x + 3 và parabol (P): y = x2.
a) Chứng tỏ rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nguyên.
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có dây AB không đi qua tâm. Gọi S là điểm bất kỳ trên tia đối (S khác A) của tia AB. Kẻ hai tiếp tuyến SC, SD từ điểm S đến đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.
1) Chứng minh rằng năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.
2) Khi SO = 2R, dùng R để tính độ dài đoạn thẳng SD và tính số đo
3) Cắt đoạn thẳng CD tại điểm K theo đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.
4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD, F là hình chiếu đứng của E trên đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 5 (0,5 điểm)
tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức