Trong phần toán hình học không gian, hình lăng trụ là một trong những hình không gian có nhiều dạng khác nhau như hình lăng trụ đứng, lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều,… Mỗi hình sẽ có những tính chất và công thức tính khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm một dạng hình khá phổ biến trong các dạng hình về khối lăng trụ đó là kiến thức về hình lăng trụ tam giác đều và các bài tập từ cơ bản đến nâng cao để các em có thể vận dụng sau bài học.
Hình lăng trụ là một đa diện gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau
Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.
Hình lăng trụ tam giác đều
Tính chất hình lăng trụ tam giác đều
Tính chất hình lăng trụ tam giác đêu:
- Hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau.
- Cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
Công thức tính thể tích của một lăng trụ tam giác đều
Thể tích hình lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao. Công thức tính thể tích hình lăng trụ tam giác giác đều
V=B.h
Trong đó:B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ, V là thể tích khối lăng trụ
Đáy của hình lăng trụ tam giác đều chính là hình tam giác đều. gọi A là diện tích của tam giác đều ta có công thức tính diện tích tam giác đều như sau:
Bài tập 1
Tính thể tích khối trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 60 độ.
Đáp án:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC ta có:
AI vuông góc BC (theo tính chất đường trung tuyến của một tam giác đều)
A’I vuông góc BC (Vì A’BC là tam giác cân)
- Góc A’BC, ABC = góc AIA’ = 600
Diện tích tam giác ABC:
- Thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ là:
Bài tập 2
Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có đáy là tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính a, diện tích mặt bên lăng trụ là
Bài tập 3
Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có chiều cao a. Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài tập 4
Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy là a. Diện tích tam giác ABC’ là
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài tập 5
Lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’ của lăng trụ cách đều A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 6
Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy là a, chiều cao gấp đôi cạnh đáy. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ , BB’ . Tính tỉ số thể tích khối chóp C.ABEF và thể tích khối lăng trụ đã cho
Bài tập 7
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
Bài tập 8
Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A với AC = b, góc ACB là 600. Đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng AA’C’C một góc bằng 300.
Tính độ dài đoạn thẳng AC’
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Bài tập 9
Cho khối lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều 3 điểm A, B , C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.
Tính thể tích khối lăng trụ đó
Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật
Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’
Bài tập 10
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’ , C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài tập 11
Cho hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (Hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp một mặt cầu do đó sáu đỉnh của hình lăng trụ sẽ nằm trên mặt cầu đó).
a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.
Đáp án:
a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có :
OA = OB = OC =R
OI = 1/2.h
Tam giác OAI là tam giác vuông tại I nên AI2 – OI2 = R2 – 1/4.h2
IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên
Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng
b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức là
Bài tập 12
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Tìm thể tích của khối chóp M.A’B’C’
Đáp án:
Do AA’ vuông góc với tam giác ABC nên suy ra
(A’C,(ABC)) = góc A’CA = 60º
Ta có AA’ = AC . Tan A’CA
= a√3.tan60º = 3a
Bài tập 13
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1
Đáp án:
Bài tập 14
Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Đáp án:
Dựng A’M vuông góc với BC ta được
A’M vuông góc với BC, AA’ vuông góc với BC => (AA’M) vuông góc với BC
=> AM vuông góc với BC
tam giác A’BC giao với tam giác ABC = BC
