Danh sách bài viết
Sau khi học cách nhận biết định nghĩa, tính chất và kí hiệu của hình chữ nhật, chúng ta có thể chứng minh tứ giác là hình chữ nhật bằng nhiều cách.
Tùy từng câu hỏi mà các em áp dụng cách chứng minh phù hợp.
- Cách 1: Chứng minh tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Cách 2: Chứng minh rằng hình thang cân vuông là hình chữ nhật.
- Phương pháp 3: Chứng minh rằng hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật
- Cách 4: Chứng minh rằng hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Cách 1: Chứng minh tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, ΔABC là hình vuông tại A, ΔBCD là hình vuông tại B và ΔCDA là hình vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
Theo kết quả đầu ra, chúng ta có:
ΔABC vuông góc với A ⇒ góc BAC = 90 °
ΔBCD vuông ở góc B CBD = 90 °
ΔCDA vuông ở góc C DCA = 90 °
⇒ Góc ADC = 90 ° (tổng 4 góc của tứ giác 360 độ)
⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì nó có bốn góc vuông. (d.p.c.m)
Cách 2: Chứng minh rằng hình thang cân vuông là hình chữ nhật.
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD và AB // CD, giả sử góc D = 90 °. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật
Giả định: Góc D = 90 °
Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)
⇒ Góc A + D = 180 ° (hai góc trong cùng phía)
⇒ Góc A = 90 °
lại góc A + góc C = 180 ° góc C = 90 °
Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90 °
⇒ ABCD là hình chữ nhật. (d.p.c.m)
Phương pháp 3: Chứng minh rằng hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật
Ví dụ 3: Cho ABC là tam giác vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Kẻ PM // BC từ điểm P (M thuộc AB). Chứng minh rằng tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Theo kết quả đầu ra, chúng ta có:
ΔABC là hình vuông tại C AC ⊥ BC => AP ⊥ PM
⇒ APM bình phương với trọng lượng P
⇒ AP = PM
Một lần nữa: AP = CQ
PM // CQ nào
⇒ MNPQ là hình bình hành (1)
Nếu không: góc C = 90 ° (2)
Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (pt.p.c.m)
Cách 4: Chứng minh rằng hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng từ B đến M và gọi E là điểm đối xứng từ G đến N. Hình tứ giác BEDC là hình gì? Tại sao?
Từ đề bài ta có: G là trọng tâm của ΔABC.
⇒GB = 2GM và GC = 2GN
Điểm D đối xứng qua điểm G qua điểm M
MG = MD hoặc GD = 2GM
Nguồn gốc: GB = GD (3)
Điểm E đối xứng qua điểm G qua điểm N
NG = NE hoặc GE = 2GN
Suy luận: GC = GE (4)
Từ (3) và (4) ⇒ tứ giác BCDE là hình bình hành vì hai đường chéo gặp nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. (5)
Xét ΔBCM và ΔCNB, ta có:
Cạnh chung BC
Góc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)
CM = BN (vì AB = AC)
Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)
⇒ Góc B1 = C1 ⇒ GBC là trọng lượng tại G ⇒ GB = GC BD = CE (6)
Từ (5) và (6): BCDE là hình chữ nhật vì là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. (d.p.c.m)