Danh sách bài viết
Giải toán về số nguyên là một trong những chuyên đề đào tạo học sinh giỏi các trường THCS.
Trong bài viết này, thầy Tian Bo chia sẻ với các bạn một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường dùng.
- Các phương pháp giải phương trình nguyên:
- 1. Giải PT với số nguyên chẵn và lẻ.
- 2. Sử dụng phương pháp giải tích để giải PT nghiệm nguyên.
- 3. Giải PT nghiệm nguyên bằng phương pháp cực trị
- 4. Phương pháp khử để giải các nghiệm nguyên.
- 5. Sử dụng Phép chia và Phần dư để Giải PT của các Giải pháp Số nguyên
- 6. Sử dụng các tính chất của số nguyên tố để giải các PT nghiệm nguyên.
- 7. Trả về dạng tổng kết để giải nghiệm nguyên.
- 8. Sử dụng phương pháp lặp vô hạn để giải PT nghiệm nguyên.
- 9. Sử dụng các tính chất của nghiệm phương trình bậc hai để giải các nghiệm nguyên.
- 10. Giải các nghiệm nguyên với bất phương trình
- Bài tập phương trình số nguyên có lời giải:
Các phương pháp giải phương trình nguyên:
* Lưu ý: Tuỳ từng bài mà học sinh vận dụng một hay nhiều phương pháp để giải các bài toán về PT nghiệm nguyên.
1. Giải PT với số nguyên chẵn và lẻ.
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên tố của x, y thỏa mãn: y2 – 2×2 = 1
Hướng dẫn:
ta có y2 – 2×2 = 1 y2 = 2×2 +1 y là số lẻ
Cho y = 2k + 1 (với k nguyên). Ta có (2k + 1) 2 = 2×2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k x chẵn, trong đó x là nguyên tố x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình: (2x + 5y + 1) (2 | x | + y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1) (2 | x | + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn y chẵn
2 | x | + y + x2 + x = 2 | x | + y + x (x + 1) số lẻ
có x (x + 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2 | x | lẻ 2 | x | = 1 x = 0
Thay x = 0 vào phương trình, ta được
(5y + 1) (y + 1) = 105 5y2 + 6y – 104 = 0
y = 4 hoặc y =
Thử lại, ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
2. Sử dụng phương pháp giải tích để giải PT nghiệm nguyên.
Trên thực tế, hãy chuyển đổi phương trình thành dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4×3 + 6×2 + 4x = y2
Giải thích: Ta có: x4 + 4×3 + 6×2 + 4x = y2 ⇔ x4 + 4×3 + 6×2 + 4x + 1- y2 = 1
(x + 1) 4 – y2 = 1 ⇔ [(x + 1) 2 –y] [(x + 1) 2 + y] = 1
⇒ y = 0 (x + 1) 2 = 1 x + 1 = ± 1 x = 0 hoặc x = -2
Vậy (x, y) = (0, 0); (- 2, 0)
3. Giải PT nghiệm nguyên bằng phương pháp cực trị
Đối với một số vấn đề, vai trò của ẩn số là ngang nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 (x + y + z + t) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Chúng tôi giả sử x ≥ y z t 1
Ta có: 5 (x + y + z + t) + 10 = 2 xyzt
* và
nếu
Ta nhận được nghiệm (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của nó
và
* và
Vì x y z 2 nên 8x – 5 8y – 5 11
⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 Không có lời giải
Vậy nghiệm của phương trình là tập (x, y, z)
= (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và hoán vị
4. Phương pháp khử để giải các nghiệm nguyên.
Xác nhận lời giải, sau đó loại trừ các giá trị còn lại của ẩn số.
Ví dụ 5: Tìm các nghiệm số nguyên dương cho phương trình
Đầu tiên! +2! + … + x! = y2
Hướng dẫn:
Với x ≥ 5 thì x! Kết thúc bằng 0 và 1! +2! +3! +4! kết thúc bằng 3
Þ 1! +2! + … + x! kết thúc bằng số 3, không phải là hình vuông hoàn hảo (đại loại là)
Vậy x <5 và x là số nguyên dương nên: x = {1; 2; 3; 4}
Thử nhập phương trình ta được (x = 1, y = 2); (x = 3, y = 3) là thỏa mãn.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Hướng dẫn:
Ta có: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x 4 y2 + 4y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4×2 + 4x + 1
⇒ (2×2 + x) 2 – (2y + 1) 2 = (3x + 1) (x + 1)
hoặc (2×2 + x + 1) 2 – (2y + 1) 2 = x (x-2)
Chúng tôi nhìn vào:
(3x + 1) (x + 1)> 0 nếu x> 0 hoặc x <- 1
nếu x> 2 hoặc x <-1 thì x (x-2)> 0
⇒ nếu x> 2 hoặc x <1 thì (2×2 + x) <(2y + 1) 2 <(2×2 + x + 1) 2 (loại)
-1 ≤ x 2 x = 0, 1, -1, 2
Xét x = 2 ⇒ y2 + y = 30 y = 5 hoặc y = -6
Xét x = 1 ⇒ y2 + y = 4 (một chút)
Xét x = 0 y2 + y = 0 y (y + 1) = 0 y = 0 hoặc y = -1
Xét x = -1 y2 + y = 0 y = 0 hoặc y = -1
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
(x, y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1; 0); (-1, -1)
5. Sử dụng Phép chia và Phần dư để Giải PT của các Giải pháp Số nguyên
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2y2 = 5
Hướng dẫn:
x2 chia cho 5 có dư là 1 hoặc 4
y2 chia cho 5 có dư là 1 hoặc 4 2y2 chia cho 5 và có dư là 2 hoặc 3
⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ± 1 hoặc ± 2 (loại)
Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.
Ví dụ 8: Tìm x, y là các số tự nhiên thỏa mãn
x2 + 3y = 3026
Hướng dẫn:
Xét y = 0 x2 + 3 = 3026 x2 = 3025
trong đó xº ∈ N x = 55
Coi y> 0 3y chia hết cho 3 thì dư của x2 chia hết cho 3 là 0 hoặc 1
⇒ x2 + 3y chia cho 3 có dư là 0 hoặc 1
trong đó 3026 chia cho 3 được 2 (một chút)
Vậy nghiệm (x, y) = (55,0)
6. Sử dụng các tính chất của số nguyên tố để giải các PT nghiệm nguyên.
Ví dụ 9: Tìm các số nguyên tố của x, y, z sao cho xy + 1 = z
Hướng dẫn:
Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z z> 3
trong đó z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn x = 2
Coi y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là số nguyên tố z = 5 (thỏa mãn)
Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k + 1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z
4 dư chia hết cho 3 1 (2,4k + 1) Chia hết cho 3 z Chia hết cho 3 Chưa thỏa (phần nào)
Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thỏa mãn
7. Trả về dạng tổng kết để giải nghiệm nguyên.
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
Ta có x2 + y2 – x – y = 8 4 x2 + 4 y2 – 4 x – 4y = 32
(4×2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 (2x – 1) 2 + (2y – 1) 2 = 34
Bằng phép thử và sai, ta thấy rằng 34 chỉ có một dạng phân tích là tổng của hai bình phương 32 và 52.
Do đó chúng tôi có
Giải ra ta được (x, y) = (2,3); (2, -2); (-12); (-1, 3) và các hoán vị của chúng.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên cho phương trình
x2 – 4xy + 5y2 = 169
Giải: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y) 2 + y2 = 169
Ta thấy rằng 169 = 02 + 132 = 52 + 122
Giải ra ta được (x, y) = (29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22,5); (-2, 5); (2, -5); ( -22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
8. Sử dụng phương pháp lặp vô hạn để giải PT nghiệm nguyên.
Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x, y là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0
Chúng ta có
Chúng ta có
Vì vậy, nếu (xo; yo) là nghiệm của phương trình đã cho thì
Vậy nghiệm duy nhất là x = y = 0.
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y lẻ x2 thì y2 chia hết cho 4 và dư là 1
Đặt x = 2×1, y = 2y1, z = 2z1
chúng ta có x + y + z = xy
Lập luận tương tự, ta có x + y + z = 16 xy
Quá trình này tiếp tục và chúng ta thấy rằng (x1, y1, z1) là nghiệm của phương trình
⇒ x1 = y1 = z1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm (0, 0, 0)
9. Sử dụng các tính chất của nghiệm phương trình bậc hai để giải các nghiệm nguyên.
Chuyển phương trình về dạng bậc hai của ẩn số với ẩn số khác làm tham số và sử dụng các tính chất của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai để xác định giá trị của tham số.
Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3×2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta có PT: 3×2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
⇒ y2 + (4x + 2) y + 3 x2 + 4x + 5 =) (*) Coi x là tham số để giải phương trình bậc hai pt (*) ta có ẩn y
Vì y là số nguyên nên x là số nguyên
nhưng
⇒ (x- n) (x + n) = 4 x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y + 5) x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y + 5) x + 5y + 2 = 0 Với y là tham số, ta có phương trình bậc hai ẩn x. Giả sử phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2
Chúng ta có:
⇒ 5×1 + 5×2 – x1x2 = 23
⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 trong đó 2 = 1,2 = (-1) (- 2)
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
Thay vào phương trình, chúng ta thấy rằng các cặp
(x, y) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
10. Giải các nghiệm nguyên với bất phương trình
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 (x-
Chúng tôi thấy (x-
-2 là 2
⇒ y = ± 2; ± 1; 0 thay vào phương trình ta tìm được x
Ta nhận được nghiệm nguyên của phương trình:
(x, y) = (-1, -2), (1, 2); (-2, -1); (2,1); (- 1,1); (1, -1)
Bài tập phương trình số nguyên có lời giải:
