Đáp án và hướng dẫn Giải bài 17,18,19 ,20,21,22 trang 49, bài 23,24 trang 50 Toán 9 tập 2: Công thức nghiệm thu gọn – Chương 4 Đại số.
1. công thức nghiệm thu gọn
Đối với PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac
– Nếu ∆’ > 0 thì PT có hai nghiệm phân biệt:
– Nếu ∆’ = 0 thì PT có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a
– Nếu ∆’ < 0 thì PT vô nghiệm.
2. Chú ý:
– Khi a > 0 và PT: ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì biểu thức ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x.
– Nếu PT : ax2 + bx + c = 0 có a < 0 thì nên đổi dấu hai vế của PT để có a > 0, khi đó dễ giải hơn.
– Đối với PT bậc hai khuyết ax2 + bx = 0 , ax2 + c = 0 nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn.
Giải bài tập Toán 9 Công thức nghiệm thu gọn tập 2 trang 49,50
Bài 17. Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a) 4×2 + 4x + 1 = 0; b) 13852×2 – 14x + 1 = 0;
c) 5×2 – 6x + 1 = 0; d) -3×2 + 4√6x + 4 = 0.
HD: a) 4×2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, b’ = 2, c = 1
∆’ = 22 – 4 . 1 = 0: PT có nghiệm kép
x1 = x2 = -2/4 = -1/2
b) 13852×2 – 14x + 1 = 0 có a = 13852, b = -14, b’ = -7, c = 1
∆’ = (-7)2 – 13852 . 1 = 49 – 13852 < 0
PT vô nghiệm.
c) 5×2 – 6x + 1 = 0 có a = 5, b = -6, b’ = -3, c = 1
∆’ = (-3)2 – 5 . 1 = 4, √∆’ = 2
d) -3×2 + 4√6x + 4 = 0 có a = -3, b = 4√6, b’ = 2√6, c = 4.
∆’ = (2√6)2 – (-3) . 4 = 24 + 12 = 36, √∆’ = 6
Bài 18. Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b’x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
a) 3×2 – 2x = x2 + 3; b) (2x – √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1);
c) 3×2 + 3 = 2(x + 1); d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2
HD: a) 3×2 – 2x = x2 + 3 ⇔ 2×2 – 2x – 3 = 0.
b’ = -1, ∆’ = (-1)2 – 2 . (-3) = 7
b) (2x – √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1) ⇔ 3×2 – 4√2 . x + 2 = 0
b’ = -2√2
∆’ = (-2√2)2 – 3 . 2 = 2
c) 3×2 + 3 = 2(x + 1) ⇔ 3×2 – 2x + 1 = 0.
b’ = -1; ∆’ = (-1)2 – 3 . 1 = -2 < 0
⇒PT vônghiệm.
d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2 ⇔ 0,5×2 – 2,5x + 1 = 0
⇔ x2 – 5x + 2 = 0, b’ = -2,5; ∆’ = (-2,5)2 – 1 . 2 = 4,25
x1 = 2,5 + √4,25 ≈ 4,56, x2 = 2,5 – √4,25 ≈ 0,44
(Rõ ràng trong trường hợp này dùng công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)
Bài 19 trang 49 . Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x ?
HD: Khi a > 0 vàPT vô nghiệm thì b2 – 4ac < 0.
Bài 20. Giải các phương trình:
a) 25×2 – 16 = 0; b) 2×2 + 3 = 0;
c) 4,2×2 + 5,46x = 0; d)4×2 – 2√3x = 1 – √3.
Đ/S: a) 25×2 – 16 = 0 ⇔ 25×2 = 16 ⇔ x2 = 16/25
b) 2×2 + 3 = 0: PT vô nghiệm vì vế trái là 2×2 + 3 ≥ 3 còn vế phải bằng 0.
c) 4,2×2 + 5,46x = 0 ⇔ 2x(2,1x + 2,73) = 0
=> x = 0
Hoặc 2,1x + 2,73 = 0 => x = -1,3
d) 4×2 – 2√3x = 1 – √3 ⇔ 4×2 – 2√3x – 1 + √3 = 0
Có a = 4, b = -2√3, b’ = -√3, c = -1 + √3
∆’ = (-√3)2 – 4 . (-1 + √3) = 3 + 4 – 4√3 = (2 – √3)2, √∆’ = 2 – √3
Bài 21 trang 49 Toán 9 tập 2. Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):
a) x2 = 12x + 288;
Đ/S: a) x2 = 12x + 288 ⇔ x2 – 12x + 288 = 0
∆’ = (-6)2 – 1 . (-288) = 36 + 288 = 324
√∆’ = 18
x1 = 6 + 18 = 24, x2 = 6 – 18 = -12
Bài 22. Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi PT sau có bao nhiêu nghiệm:
a) 15×2 + 4x – 2005 = 0; b) -19/5 x2 – √7x + 1890 = 0.
HD: Khi PT ax2 + bx + c = 0 có a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra -ac > 0; hơn nữa b2 ≥ 0. Do đó ∆ = b2 – 4ac > 0. VậyPT có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a) PT :15×2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15, c = -2005 trái dấu nhau nên PT có hai nghiệm phân biệt.
b) PT: -19/5 x2 – √7x + 1890 = 0
có a = -19/5 và c = 1890 trái dấu nhau nên PT có hai nghiệm phân biệt.
Bài 23 trang 50. Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:
v = 3t2 – 30t + 135,
(t tính bằng phút, v tính bằng km/h).
a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.
b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
HD: a) Khi t = 5 (phút) thì v = 3 . 52 – 30 . 5 + 135 = 60 (km/h)
b) Khi v = 120 (km/h), để tìm t ta giải PT: 120 = 3t2 – 30t + 135
Hay t2 – 10t + 5 = 0. Có a = 1, b = -10, b’ = -5, c = 5.
∆’ = 52 – 5 = 25 – 5 = 20, √∆’ = 2√5
t1 = 5 + 2√5 ≈ 9,47, t2 = 5 – 2√5 ≈ 0,53
Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cả hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy t1 ≈ 9,47 (phút), t2 ≈ 0,53 (phút).
Bài 24. Cho phương trình (ẩn x) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0.
a) Tính ∆’.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?
HD: a) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có a = 1, b = -2(m – 1), b’ = -(m – 1), c = m2
∆’ = [-(m – 1)]2 – m2 = m2 – 2m + 1 – m2 = 1 – 2m
b) Ta có ∆’ = 1 – 2m
PT có hai nghiệm phân biệt khi 1 – 2m > 0 hay khi
m < 1/2
PT vô nghiệm khi m > 1/2
PT có nghiệm kép khi m = 1/2.