Ma trận chuyển vị là một nội dung kiến thức không thể bỏ qua của đại số tuyến tính. Tại bài viết này, Cẩm nang điện máy sẽ tập trung khai thác khái niệm, tính chất, cách tính ma trận chuyển vị. Đồng thời giúp các bạn sinh viên phân biệt ma trận chuyển vị với các loại ma trận khác, mời tìm hiểu!
Ma trận chuyển vị là gì
Đầu tiên, hiểu rõ khái niệm thế nào là ma trận chuyển vị sẽ giúp các bạn hiểu và xử lý bài toán dễ dàng hơn.
Định nghĩa ma trận chuyển vị
Trong đại số tuyến tính, ma trận chuyển vị là một ma trận đặc biệt mà ở đó, các phần tử ở hàng được thay thế bằng phần tử ở các cột và ngược lại. Để có được một ma trận chuyển vị, ta cần sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Về mặt ký hiệu, ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là AT.
Mô tả ngắn gọn: Nếu A là một ma trận có kích thước m x n với các giá trị là aij tại hàng i, cột j, thì ma trận chuyển vị AT (gọi là B) sẽ là ma trận có kích thước n x m với các giá trị: bij = aji
Ví dụ:
Các định nghĩa mở rộng liên quan đến ma trận chuyển vị
– “MT vuông có chuyển vị bằng chính nó được gọi là MT đối xứng.”
Nghĩa là, A đối xứng nếu:
– “MT vuông có chuyển vị bằng phần trừ của nó được gọi là MT phản đối xứng.”
Tức là, A phản đối xứng nếu:
– “MT vuông phức có chuyển vị bằng MT với mỗi phần tử được thay thế bằng liên hợp phức của nó (tại đây biểu diễn bằng bằng dấu gạch ngang) được gọi là MT Hermitian (tương đương ma trận bằng chuyển vị liên hợp).”
Có nghĩa là, A là một Hermitian nếu:
– “MT vuông phức có chuyển vị bằng phủ định của liên hợp phức của nó được gọi là MT phản Hermitian.”
Tức là, A là phản Hermitian nếu:
– “MT vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo của nó được gọi là MT trực giao.”
Tức là, A trực giao nếu:
– “Một MT phức vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo liên hợp của nó được gọi là MT Unita.
Tức là, A đơn nhất (unita) nếu:
Tính chất
Cho A và B là 2 ma trận bất kỳ và c là một đại lượng vô hướng.
(A + B)T = AT + BT và (cA)T = c(AT) (AB)T = (BT)(AT)
Nếu ma trận A nghịch đảo được thì AT cũng nghịch đảo được, và (A−1)T = (AT)−1.
Các thuộc tính khác của ma trận chuyển vị:
- (At)t = A: chuyển vị của ma trận chuyển vị chính là ma trận ban đầu.
- (A + B)t = At + Bt: chuyển vị của tổng 2 ma trận bằng tổng chuyển vị của mỗi ma trận đó.
- (A.B)t = Bt.At: Chuyển vị của một tích hai ma trận bằng tích của hai phép chuyển vị của mỗi ma trận đó theo thứ tự ngược lại.
- det (M) = det (Mt): định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận gốc.
Phân biệt ma trận chuyển vị với ma trận nghịch đảo
Ma trận chuyển vị và ma trận nghịch đảo là hai loại ma trận có tính chất khá đặc biệt trong đại số tuyến tính. Chúng khác nhau về cả bản chất và cách tính toán. Tuy nhiên, do hai loại ma trận đều là biến đổi tuyến tính, không ít học giả bị lẫn lộn giữa chúng. Ta cần nhớ:
Transpose (MT chuyển vị) có được bằng cách sắp xếp lại các cột và hàng trong ma trận đó. Trong khi MT nghịch đảo thu được bằng cách tính toán số, đôi khi khá phức tạp.
Ở kết quả thu được, MT chuyển vị chỉ là sự thay đổi vị trí của các phần tử (các giá trị so với MT gốc là như nhau). Trong khi kết quả của ma trận nghịch đảo có thể là bộ số (phần tử) khác hoàn toàn.
Mọi ma trận đều có thể chuyển vị (đều tồn tại chuyển vị của nó). Trong khi nghịch đảo của ma trận chỉ tồn tại khi ma trận vuông và định thức của nó khác 0.
Mối liên quan giữa ma trận chuyển vị và ma trận đối xứng
Không giống như ma trận nghịch đảo, ma trận đối xứng và ma trận chuyển vị có mối liên hệ đặc biệt với nhau.
Cụ thể, ta được biết: “Một ma trận đối xứng là một ma trận vuông A có chuyển vị là chính nó.”
Mỗi phần tử của ma trận đối xứng thì đối xứng nhau qua đường chéo. Chẳng hạn, một ma trận A đối xứng viết dưới dạng A = (aij), thì:
Ví dụ:
Như vậy, một ma trận được coi là đối xứng thì chuyển vị của nó là chính nó và ngược lại. Nếu một ma trận có chuyển vị là chính nó, thì ma trận đó là ma trận đối xứng.
Cách tính ma trận chuyển vị bằng máy tính Casio
Sử dụng máy tính để tính toán ma trận là cách hạn chế sai sót, cũng như giúp các bạn kiểm tra và rà soát các kết quả tính thủ công.
Sau đây là hướng dẫn cách tính toán trên ma trận bằng máy tính Casio Fx-570VN Plus cơ bản, bạn có thể tham khảo:
Bước 1: Để thực hiện tính toán trên ma trận, chọn: [MODE] [6]
Bước 2: Máy tính sẽ hỏi tên ma trận mà bạn muốn nhập (chọn 1,2 hoặc 3 tùy ý).
Bước 3: Máy tính sẽ hỏi kích cỡ ma trận (bấm từ 1 tới 6 tùy thuộc vào kích thước ma trận). Chẳng hạn, khi muốn tìm ma trận chuyển vị 3×3, đầu tiên ta phải nhập ma trận gốc, thao tác như sau: 1=2=2=2=1=2=2=2=1=
Thu được ma trận A sau:
1 2 2
1 1 2
2 2 1
Bước 4: [SHIFT][4] để nhập thêm ma trận B và ma trận C với Dim hoặc xem lại với Data. Bước này dùng khi bạn cần tính toán giữa các ma trận hoặc xử lý nhiều phép tính các ma trận khác nhau cùng lúc.
Bước 5: Bấm [AC][SHIFT][4] và màn hình hiện ra bảng sau:
- Dim: nhập lại ma trận
- Data: xem lại ma trận
- MatA: gọi ra ma trận A
- MatB: gọi ra ma trận B
- MatC: gọi ra ma trận C
- MatAns: gọi ra ma trận đã tính toán trước đó
- Det: tính định thức của ma trận
- Trn: tính ma trận chuyển vị
Ví dụ về cách tính một số bài toán liên quan ma trận bằng máy tính Casio:
- Tính tổng của 2 ma trận A và B bằng máy tính Casio: Thao tác: [shift][4][3]+[shift][4][4][=]
- Tính tích của 2 ma trận A và B bằng máy tính Casio: Thao tác: [shift][4][3][x][shift][4][4][=]
- Tính bình phương của ma trận A bằng máy tính Casio: Thao tác: [shift][4][3][x2][=]
- Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng máy tính Casio: Thao tác: [shift][4][3][x-1][=]
- Tính định thức của ma trận A bằng máy tính Casio: Thao tác:[shift][4][7][shift][4][3][=]
Ma trận chuyển vị trong MATLAB
Bên cạnh ma trận hệ số tuyến tình thì ma trận MATLAB cũng rất được quan tâm. Nội dung này được ứng dụng trong học phần và các hoạt động thực tiễn liên quan các ngành như: xử lý hình ảnh và tín hiệu,hệ thống điều khiển cho ngành công nghiệp, truyền thông, thiết kế lưới điện thông minh, người máy cũng như lĩnh vực tài chính,…
“MATLAB là viết tắt của thuật ngữ matrix laboratory, một phần mềm dùng để giải một loạt các bài toán kỹ thuật, đặc biệt là có liên quan đến ma trận.
MATLAB cung cấp các tool boxes (hàm mở rộng môi trường MATLAB). Qua đó chúng xử lý được các tín hiệu số, hệ thống điều khiển, fuzzy logic, mạng neuron, mô phỏng,…”
Lệnh xử lý ma trận nghịch đảo trong MATLAB: X = inv (A).
Trên đây là toàn bộ nội dung liên quan đến ma trận chuyển vị, cách tính ma trận chuyển vị bằng máy tính Casio. Mong rằng bài viết của camnangdienmay.net đã mang đến cho các bạn nhiều kiến thức hữu ích!