Danh sách bài viết
Từ yêu cầu chứng minh, chúng tôi chuyển thành bất đẳng thức đúng, do đó, phát biểu được chứng minh. Đó là, phương pháp biến đổi tương đương.
* Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương tổng quát:
Để chứng minh rằng A> B, chúng ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi sao cho:
A> ….. ⇔ C>
trong đó bất đẳng thức C> D là bất đẳng thức thực (được công nhận).
Từ đó rút ra kết luận cần phải chứng minh.
- Bài tập chứng minh BĐT bằng PP biến đổi tương đương:
- Câu hỏi 1:
- Câu hỏi 2:
- Câu hỏi 3:
- Câu hỏi 4:
- Câu hỏi 5:
- Câu hỏi 6:
- Câu hỏi 7:
Bài tập chứng minh BĐT bằng PP biến đổi tương đương:
Câu hỏi 1:
chứng tỏ
phần thưởng
Vì vậy để chứng minh BDT (1) ta phải chứng minh BDT (2)
(2) đúng nếu VP = ac + bd <0
nếu
Câu nói cuối cùng luôn đúng, chúng ta có
Câu hỏi 2:
Gọi a và b là hai số cùng dấu:
chứng tỏ:
phần thưởng
nghĩ:
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (vì a và b cùng dấu nên ab> 0)
⇔ a2 + b2 – 2ab 0
(a – b) 2 ≥ 0 (2)
Vì BDT (2) là BDT chính xác. Mặt khác, các phép biến hình trên là tương đương nên BĐT (1) đúng.
vì thế
Dấu “=” xuất hiện nếu và chỉ khi a = b.
Câu hỏi 3:
Cho a và b là hai số thực sao cho a + b = 1.
Chứng minh: a3 + b3 + ab
phần thưởng:
Giả sử a3 + b3 + ab
a3 + b3 + ab –
(a + b) (a2 + b2 – ab) + ab –
⇔ a2 + b2 –
⇔ 2a2 + 2 b2 – 1 0
⇔ 2a2 + 2 (1 – a) 2 – 1 0 (vì b = 1- a)
⇔ 4a2 – 4a + 1 0
⇔ (2a – 1) 2 ≥ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) giữ nguyên, mặt khác, các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) giữ nguyên.
Vậy a3 + b3 + ab
Ký hiệu “=” xuất hiện khi và chỉ khi a = b =
Câu hỏi 4:
Cho a và b là hai số dương. chứng tỏ:
phần thưởng
nghĩ:
⇔ a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b) 2 ≥ 0 (2)
Vì BDT (2) là true nên BDT (1) là true.
vì thế:
Dấu bằng xuất hiện khi và chỉ khi a = b
Câu hỏi 5:
Cho a, b, x, y là các số thực. chứng tỏ:
phần thưởng:
nghĩ
(2) Vì BDT (2) là đúng nên BDT (1) là đúng. vì thế
nếu và chỉ khi ay = bx hoặc
Câu hỏi 6:
Cho x và y là các số thực. chứng tỏ:
phần thưởng:
nghĩ
Vì BDT (2) là BDT thực, BDT (1) là BDT đúng nên:
Biểu tượng “=” xuất hiện khi và chỉ khi xy
Câu hỏi 7:
phần thưởng:
nghĩ
Vì BDT (2) là true nên BDT (1) là true
vì thế:
Dấu “=” xuất hiện nếu và chỉ khi a = b.
Cùng chủ đề:
<< Mẹo hữu ích để học bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình >>