Danh sách bài viết
Một số vấn đề liên quan đến vòng tròn nảy sinh nếu chúng ta thêm các yếu tố phụ để làm cho vấn đề dễ giải quyết hơn.
Một cách phổ biến để vẽ nhiều hình hơn trong bài toán hình tròn là:
- Vẽ một đường kính vuông góc với hợp âm
- Vẽ bán kính qua tiếp điểm
- Vẽ tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc của hai đường tròn tiếp tuyến
- Vẽ hợp âm chung của hai đường tròn giao nhau
- Sự cố khi vẽ thêm hình trong vòng tròn
Vẽ một đường kính vuông góc với hợp âm
Khi chúng ta muốn tính độ dài của một sợi dây, chúng ta thường áp dụng định lý về đường kính vuông góc với một sợi dây bằng cách vẽ một đường kính vuông góc với một sợi dây, rồi thông qua trung điểm của sợi dây.
Để chứng minh rằng hai dây bằng nhau (hoặc không), chúng ta cũng vẽ đồ thị đường kính vuông góc với hai dây.
* Chú ý: Vẽ đường kính qua trung điểm của một dây thì cũng cho đường kính vuông góc với dây đó.
Vẽ bán kính qua tiếp điểm
Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm. Vì vậy trong bài toán tiếp tuyến của đường tròn, ta thường vẽ bán kính qua tiếp điểm, và khi đó bán kính này vuông góc với tiếp tuyến.
Vẽ tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc của hai đường tròn tiếp tuyến
Khi bài toán có hai đường tròn là tiếp tuyến, nếu cần chúng ta có thể vẽ thêm một tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc. Điều này giúp bạn có thể thao tác tính chất giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn hoặc các tính chất khác mà chúng ta sẽ thấy trong chương sau.
Vẽ hợp âm chung của hai đường tròn giao nhau
Nếu hai đường tròn cắt nhau, dây cung chung vuông góc với và phân giác bởi đường nối các tâm. Vì vậy, nếu bài toán là hai đường tròn cắt nhau, chúng ta có thể vẽ chuỗi chung hơn để có được hai đường thẳng đứng hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Từ đó, tiến hành áp dụng để chứng minh những điều khác. Chuỗi chung đóng vai trò trung gian cho việc di chuyển từ vòng tròn này sang vòng tròn khác.
Sự cố khi vẽ thêm hình trong vòng tròn
Bài toán 1: Cho đường tròn (O; 2 cm) và điểm A sao cho OA = 3 cm. Đường thẳng A cắt đường tròn tại M và N. Tính tổng giá trị lớn nhất của AM + AN
Hướng dẫn:
Vẽ OH MN thì HM = HN
Ta có: AM = AH – HM và AN = AH + MN
Suy ra: AM + AN = AH – HM + AH + MN = 2AH (vì HM = HN)
Mặt khác, AH AO (quan hệ giữa đường thẳng đứng và đường chéo)
Vậy AM + AN 2 AO = 6 cm
Dấu bằng xuất hiện khi đường cát AMN đi qua O
Vậy giá trị lớn nhất của tổng AM + AN là 6 cm khi cát tuyến đi qua O
Bài toán 2: Cho số đo của góc xOy là 60. Lấy điểm E trên tia phân giác của góc đó. Vẽ đường tròn (E) cắt tia Ox tại A, B và cắt tia Oy tại C, D sao cho OA
a) AB = CD
b) Góc AED là 120
c) F nằm trên đường tròn (E)
Hướng dẫn:
a) Vẽ EH ⊥ AB; Đĩa Aike
Theo tính chất đường phân giác, ta có: EH = EK
⇒ AB = CD (hai hợp âm cách đều tâm thì bằng nhau)
b) ΔHEA = KED (cạnh phụ – cạnh phải)
Mặt khác:
c) ΔAEF = ΔDEF (c.c.c)
ΔAEF có FA = FE nên là tam giác cân, AEF bằng 60 nên là tam giác đều.
Vậy điểm F nằm trên đường tròn (E).
Câu 3: Từ một điểm A nằm ngoài hai đường tròn đồng tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn nhỏ (M, N là các tiếp tuyến). Tia AM cắt đường tròn lớn tại B và C (B nằm giữa A và C), tia AN cắt đường tròn lớn tại D và E (D nằm giữa A và E). Chứng tỏ:
a) Tam giác ACE là cân
b) Tứ giác BDEC là hình thang cân.
Hướng dẫn:
a) Kết nối OM, bật nó lên. Vì AM và AN là tiếp tuyến nên
OM ⊥ AM; ON ⊥ AN; AM = A
Vì OM = ON nên BC = DE
Mặt khác, chúng tôi có:
MB = MC = 1/2 BC và ND = NE = 1/2 DE
Vậy AM + MC = AN + NE AC = AE
Vậy ΔACE cân.
b) Ta có: AC = AE; BC = DE
⇒ AC – BC = AE – DE hoặc AB = AD
Hai tam giác cân ABD và ACE có chung góc A tại các đỉnh của chúng nên góc ABD bằng góc ACE nên BD // CE
⇒ Tứ giác BDEC là hình thang
Tương tự, góc C bằng góc E nên tứ giác BDEC là hình thang cân.
Bài toán 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O ‘; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của BC với B ∈ (O); C ∈ (O ‘). Chứng tỏ
Hướng dẫn:
Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn qua A cắt BC tại M.
Ta có: AM OO ‘và AM = BM = CM = 1/2 BC
Tia MO và MO ‘là tia phân giác của hai góc phụ nhau AMB và AMC nên MO ⊥ MO’
Xét tam giác OMO ‘tại M, trong đó MA là đường cao:
MA2 = OA.O’A
Bài toán 5: Cho hình bán nguyệt (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC ⊥ AB rồi vẽ tiếp tuyến xy từ C đến hình bán nguyệt. Vẽ đường tròn (K) là tiếp tuyến của AB và tiếp tuyến của đường tròn (O). Chứng minh rằng tâm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy.
Hướng dẫn:
Gọi M, N lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (K) với AB và đường tròn (O).
Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ N, cắt AB tại D và MK tại E.
Ta sẽ chứng tỏ rằng E thuộc đường thẳng xy.
Ta có 3 điểm thẳng hàng K, O, N và KN ⊥ DE; C và DM = DN
ΔMDE = ΔNDO (g.c.g)
⇒ EM = ON, do đó EM = OC = R, dẫn đến E ∈ xy và KE ⊥ xy (vì xy // AB)
ΔNKE = ΔMKO (g.c.g)
KE = không
Vậy tâm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy.
Câu 6: Cho hai đường tròn (O) và (O ‘) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng EAF qua A, trong đó E ∈ (O) và F ∈ (O ‘). Chứng minh rằng phân giác đứng của EF luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
Vẽ dây chung AB và đường kính AOC và AO’D
chúng tôi có:
Chúng ta có:
⇒ Tứ giác FECD là hình thang vuông.
Đường thẳng (d) là phân giác đứng của EF nên d // EC // FD do đó (d) đi qua trung điểm của CD là một điểm cố định.