Bài 27: Bài toán tối ưu tiêu dùng, đường tiêu thụ giá cả và hệ số co giãn của cầu theo giá – Mr Men

Bởi
Một người tiêu dùng có khoảng chừng thu nhập I = 4.400.000 đồng dùng để mua 2 loại thực phẩm là thịt và gạo với Pt = 80.000 đồng / kg và Pg = 20.000 đ / sp. Mức hữu dụng từng loại được biểu lộ qua 2 hàm số sau :
TUT = – T2 + 40 * T và TUG = – ½ * G2 + 95 * G

Yêu cầu:

1. Viết phương trình đường ngân sách theo 3 dạng khác nhau
2. Viết phương trình hữu dụng biên cho hai loại sản phẩm & hàng hóa
3. Tìm phối hợp tối ưu giữa hai loại sản phẩm & hàng hóa và tính tổng hữu dụng tối đa đạt được
4. Nếu giá thịt tăng lên 100.000 đ / kg, trong khi thu nhập và giá gạo không đổi, phối hợp tối ưu mới và tổng hữu dụng đạt được là bao nhiêu ?
5. Nếu giá thịt giảm xuống còn 60.000 đ / kg, trong khi thu nhập và giá gạo không đổi, phối hợp tối ưu mới và tổng hữu dụng đạt được là bao nhiêu ?
6. Vẽ đường tiêu thụ Ngân sách chi tiêu dựa vào tác dụng 3 câu từ 3-5 .
7. Tính thông số co và giãn của cầu theo giá của mặt hàng thịt trong 2 khoảng chừng dịch chuyển giá : ( 1 ) từ 80 lên 100 và ( 2 ) từ 80 xuống 60 .

 

BÀI GIẢI

Câu 1:                                        

Người tiêu dùng có thu nhập 4.400.000 đ ( I ) để mua Thịt và Gạo nên số tiền này bằng tổng số tiền chi mua Thịt ( Pt * T ) cộng với tiền chi mua Gạo ( Pg * G ), vậy phương trình đường ngân sách là :
80.000 * T + 20.000 * G = 4.400.000

⇔    4*T + G = 220       (1)

Phương trình này hoàn toàn có thể được viết lại dưới 2 dạng G = f ( T ) và T = f ( G ) bằng cách chuyển vế như sau :

          G = -4T +220       (2), hoặc

          T = -1/4G +55   (3)

Câu 2:

Từ kim chỉ nan ta biết được hàm hữu dụng biên là đạo hàm của hàm tổng hữu dụng
⇒ MUT = ( TUT ) ’ = – 2T + 40
và MUG = ( TUG ) ’ = – G + 95

 

Câu 3:

Theo kim chỉ nan, phối hợp tối ưu giữa 2 sản phẩm & hàng hóa đạt được khi thỏa mãn nhu cầu hệ phương trình :
I = PT * T + GY * G ( 1 ) – PT đường ngân sách
và MUT * PG = MUG * PT ( 2 ) – PT tối ưu trong tiêu dùng

Thế những giá trị có được từ đề bài và hiệu quả câu trên vào, ta được
220 = 4 * T + G ( 1 ’ )
và ( – 2T + 40 ) * 20.000 = ( – G + 95 ) * 80.000 ( 2 ’ )
⇔

            220 = 4*T + G        (1’’)

và 170 = – T + 2G ( 2 ’ ’ )
Lấy ( 1 ’ ’ ) * 2 – ( 2 ’ ’ )
=> 9T = 270 ⇒ T = 30
Thế vào ( 1 ’ ’ ) => G = 100
Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta được
TU = TUT + TUG = – 302 + 40 * 30 – ½ * 1002 + 95 * 100 = 6.600 ( đơn vị chức năng hữu dụng )

Vậy phối hợp tối ưu là 30 kg thịt và 100 kg gạo. Phối hợp này đạt tổng hữu dụng cao nhất là 6600 đơn vị hữu dụng

Câu 4:

Khi giá Thịt tăng lên 100.000đ/kg, các yếu tố khác không đổi, để tìm phối hợp tối ưu ta chỉ cần thay đổi giá Thịt vào PT đường ngân sách và giải hệ phương trình theo phương pháp giống câu 3. Cụ thể, ta có hệ phương trình

           4.400.000 = 100.000*T + 20.000*G        (1’) 

và ( – 2T + 40 ) * 20.000 = ( – G + 95 ) * 100.000 ( 2 ’ )
⇔
220 = 5 * T + G ( 1 ’ ’ )
và 435 = – 2T + 5G ( 2 ’ ’ )
Lấy ( 1 ’ ’ ) * 2 + ( 2 ’ ’ ) * 5
=> 27G = 2615 ⇔ G = 96,8
Thế vào ( 1 ’ ’ ) => T = 24,6
Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta được
TU = TUT + TUG = – 24,62 + 40 * 24,6 – ½ * 96,82 + 95 * 96,8
= 6.103 ( đơn vị chức năng hữu dụng )

Vậy phối hợp tối ưu là 24,6 kg thịt và 96,8 kg gạo. Phối hợp này đạt tổng hữu dụng cao nhất là 6103 đơn vị hữu dụng

Câu 5:

Tương tự lý luận giống câu 4 ta được hệ phương trình

            4.400.000 = 60.000*T + 20.000*G         (1’) 

và ( – 2T + 40 ) * 20.000 = ( – G + 95 ) * 60.000 ( 2 ’ )
⇔
220 = 3 * T + G ( 1 ’ ’ )
và 245 = – 2T + 3G ( 2 ’ ’ )
Lấy ( 1 ’ ’ ) * 3 – ( 2 ’ ’ )
=> 11T = 415 ⇔ T = 37,7
Thế vào ( 1 ’ ’ ) => G = 106,8
Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta được
TU = TUT + TUG = – 37,72 + 40 * 37,7 – ½ * 106,82 + 95 * 106,8
= 7.372 ( đơn vị chức năng hữu dụng )

Vậy phối hợp tối ưu là 37,7 kg thịt và 106,8 kg gạo. Phối hợp này đạt tổng hữu dụng cao nhất là 6103 đơn vị hữu dụng

Câu 6

 Câu 7:

Hệ số co giãn cầu thịt theo giá trong khoảng giá từ 80.000 -100.000 đ/kg

Tại mức giá 80.000 đ / kg, lượng thịt là 30 kg ( câu 3 )
Tại mức giá 100.000 đ / kg, lượng thịt là 24,6 kg ( câu 4 )
Dựa vào công thức tính thông số co và giãn của cầu theo giá ( công thức khoảng chừng ), ta tính được thông số co và giãn cầu thịt theo giá trong khoảng chừng giá từ 80.000 – 100.000 đ / kg như sau :
ED = [ ( 24,6 – 30 ) * ( 80.000 + 100.000 ) ] / [ ( 100.000 – 80.000 ) * ( 24,6 + 30 )
= – 0,89

 Hệ số co giãn cầu thịt theo giá trong khoảng giá từ 80.000 -60.000 đ/kg

Tại mức giá 80.000 đ / kg, lượng thịt là 30 kg ( câu 3 )
Tại mức giá 60.000 đ / kg, lượng thịt là 37,7 kg ( câu 5 )

Dựa vào công thức tính hệ số co giãn của cầu theo giá (công thức khoảng), ta tính được hệ số co giãn cầu thịt theo giá trong khoảng giá từ 80.000 -60.000 đ/kg như sau:

ED = [ ( 37,7 – 30 ) * ( 80.000 + 60.000 ) ] / [ ( 60.000 – 80.000 ) * ( 37,7 + 30 )
= – 0,79