I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:
Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)
1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu:
thành
2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu:
3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu:
Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:
1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu:
2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu:
3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu:
Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.
II. Ma trận bậc thang:
2.1 Định nghĩa:
1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.
2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)
3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:
3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.
3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.
3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:
3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.
3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.
4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.
Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:
Ví dụ minh họa:
Xét :
![A = left [ { begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end{array}} right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%3D+%5Cleft+%5B+%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D+1+%26+3+%26+5+%26+7+%26+9+%5C%5C+0+%26+2+%26+4+%26+6+%26+8+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+1+%26+6+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+5+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+1+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.
Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi 
![left [ { begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array}} right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D+1+%26+3+%26+5+%26+7+%26+9+%5C%5C+0+%26+2+%26+4+%26+6+%26+8+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+1+%26+6+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+5+%5C%5C+0+%26+0+%26+0+%26+0+%26+0+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.
2.2 Định lý:
Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)
