Công Thức Phương Trình Đường Elip Lớp 10 Bài 3: Phương Trình Đường Elip (2 Tiết)

Bởi

Công Thức Phương Trình Đường Elip Lớp 10 Bài 3: Phương Trình Đường Elip (2 Tiết)

Trong bài học kinh nghiệm này tất cả chúng ta sẽ được học về khái niệmPhương trình đường elip. Với bài học kinh nghiệm này, tất cả chúng ta sẽ hiểu khái niệm về phương trình chính tắc của đường elip, hình dạng một elip và liên hệ giữa đường tròn và đường elip .
Đang xem : Công thức phương trình đường elip lớp 10

1. Tóm tắt kim chỉ nan
1.1. Định nghĩa đường elip
1.2. Phương trình chính tắc của elip
1.3. Hình dạng của elip
1.4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip
2. Bài tập minh hoạ
3. Luyện tập bài 3 chương 3 hình học 10
3.1. Trắc nghiệm về phương trình đường elip
3.2. Bài tập SGK và Nâng cao về phương trình đường elip
4. Hỏi đáp vềbài 3 chương 3 hình học 10

*

Cho hai điểm cố định và thắt chặt F1, F2 và một độ dài không đổi 2 a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho
F1M + F2M = 2 a
Các điểm F1 và F2 gọi là những tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 gọi là tiêu cự của elip .

*

Cho elip ( E ) có những tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M + F2M = 2 a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sa cho F1 = ( – c ; 0 ) và F2 = ( c ; 0 ). Khi đó phương trình chính tắc của elip là :
( frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1 )
trong đó b2 = a2 – c2

*

+ ( E ) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O
+ Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là những đỉnh của elip
+ Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip .

+ Từ hệ thức b2 = a2 – c2ta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn .
+ Cho đường tròn ( C ) có phương trình ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = { a ^ 2 } )

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M”(x”;y”) sao cho(left{ egin{array}{l}x” = x\y” = frac{b}{a}yend{array}
ight.left( {0 (frac{{{x”^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y”^2}}}{{{b^2}}} = 1)là một elip (E)

Ta nói đường tròn ( C ) được co thành elip ( E ) .
Xem thêm : Nở Rộ Những Khóa Học Tiền Lớp 1 ” : “ Khổ ” Vì Người Lớn Thiếu Hiểu Biết

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình

( frac { { { x ^ 2 } } } { 9 } + frac { { { y ^ 2 } } } { 1 } = 1 )

Hướng dẫn:

Ta có a2 = 9 ⇒ a = 3, b2 = 1 ⇒ b = 1
Vậy c2 = a2 – b2 = 9 – 1 = 8 ⇒ c = ( 2 sqrt 2 )
Độ dài trục lớn là A1A2 = 2 a = 6
Độ dài trục nhỏ là : B1B2 = 2 b = 2

Tiêu điểm là:({F_1}left( { – 2sqrt 2 ;0}
ight),{F_2}left( {2sqrt 2 ;0}
ight))

Tọa độ các đỉnh là({A_1}left( { – 3;0}
ight),{A_2}left( {3;0}
ight),{B_1}left( {0; – 1}
ight),{B_2}left( {0;1}
ight))

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)(E) đi qua điểm (Mleft( {frac{3}{{sqrt 5 }};frac{4}{{sqrt 5 }}}
ight)) và M nhìn hai tiêu điểm({F_1},{F_2}) dưới một góc vuông.

b)(E) đi qua (Mleft( {sqrt 3 ;frac{{sqrt 6 }}{2}}
ight)) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o.

Hướng dẫn:

a ) Do ( E ) đi qua M nên ( frac { 9 } { { 5 { a ^ 2 } } } + frac { { 16 } } { { 5 { b ^ 2 } } } = 1 ) ( 1 ) ; Lại có ( { widehat { { F_1 } MF } _2 } = { 90 ^ 0 } Leftrightarrow OM = frac { 1 } { 2 } { F_1 } { F_2 } = c Leftrightarrow c = sqrt 5 )

Như vậy ta có hệ điều kiện (left{ egin{array}{l}frac{9}{{5{a^2}}} + frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\{a^2} – {b^2} = 5end{array}
ight.). Giải hệ ta được ({a^2} = 9;{b^2} = 4 Rightarrow (E):frac{{{x^2}}}{9} + frac{{{y^2}}}{4} = 1).

b ) Tiêu điểmFnhìn trục nhỏ dưới góc 60 o nên tam giác FB1B2đều ( B1, B2là hai đỉnh trên trục nhỏ ), suy ra ( c = bsqrt 3 Rightarrow a = 2 b ), từ đó tìm ra ( ( E ) : frac { { { x ^ 2 } } } { 9 } + frac { { { y ^ 2 } } } { { frac { 9 } { 4 } } } = 1 )

Ví dụ 3: Cho elip((E):frac{{{x^2}}}{4} + frac{{{y^2}}}{1} = 1).Tìm điểm (M in (E)) sao cho (M{F_1} = 2M{F_2}).

Xem thêm : Đảo Ngẫu Nhiên Trong Excel Đơn Giản Nhất, Hàm Randarray

Hướng dẫn:

Gọi ( M ( x ; y ) Rightarrow M { F_1 } = 2 + frac { { sqrt 3 } } { 2 } x ; M { F_2 } = 2 – frac { { sqrt 3 } } { 2 } x ). Từ ( M { F_1 } = 2M { F_2 } Rightarrow x = frac { 4 } { { 3 sqrt 3 } } )

Từ đó tìm ra (y = pm frac{{sqrt {23} }}{{3sqrt 3 }}). Vậy có hai điểm M cần tìm là (Mleft( {frac{4}{{3sqrt 3 }}; pm frac{{sqrt {23} }}{{3sqrt 3 }}}
ight)).

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Điều hướng bài viết