Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bởi
Cập nhật lúc : 14 : 44 13-07-2015 Mục tin : LỚP 12

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có rất nhiều dạng bài như: viết pttt của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc…Nhưng phần này lại không khó khăn gì nếu chúng ta nắm được phương pháp của từng dạng bài này.

Xem thêm : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f ’ ( x0 ). ( x – x0 ) + y01. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M ( x0, y0 ) thuộc đồ thị hàm số ( tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M ( x0 ; y0 ) làm tiếp điểm ) .Phương trình tiếp tuyến với hàm số ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C )( hoặc tại h x = x0 ) có dạng : y = f ’ ( x0 ). ( x – x0 ) + y0 .2. Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A ( xA, yA ) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số ( tức là mọi tiếp tuyến đi qua A ( xA, yA ) ) .Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ). Giả sử tiếp điểm là M ( x0, y0 ), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f ’ ( x ). ( x – x0 ) + y0 ( d ) .Điểm A ( xA, yA ) ∈ d, ta được : yA = f ’ ( x0 ). ( xA – x0 ) + y0 => x0Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d .3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết thông số góc kCho hàm số ( C ) : y = f ( x ). Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng : d : y = f ’ ( x0 ). ( x – x0 ) + y0 .Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình :f ’ ( x0 ) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f ( x0 ) .Ta lập được phương trình tiếp tuyến d : y = f ’ ( x0 ). ( x – x0 ) + y0 .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ) có thông số góc k có dạng ;d : y = g ’ ( x ) = k. ( x – x0 ) + y0 .

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x) & \\ f'(x)=g'(x) & \end{matrix}\right.\)
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. Bài tập

Loại 1: Cho hàm số y =f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C).

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng : y = k ( x – x0 ) + y0 ( * )Với x0 là hoành độ tiếp điểm ;Với y0 = f ( x0 ) là tung độ tiếp điểm ;Với k = y ’ ( x0 ) = f ’ ( x0 ) là thông số góc của tiếp tuyến .Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác lập được x0 ; y0 và k .

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)

– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được thông số gócÁp dụng ( * ) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0

– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được thông số góc .- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm .Áp dụng ( * ) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0

– Giải phương trình y0 = f ( x0 ) để tìm x0 .- Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được thông số góc .Áp dụng ( * ) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)

– Tính đạo hàm và giải phương trình k = y ’ ( x0 ) = f ’ ( x0 ) để tìm x0- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm .

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Chú ý: Một số dạng khác

– Khi giả thiết nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này

<=> y’(x0). a = -1  ⇔ y’(x0) = -1/a

… Quay về dạng 4 .- Khi giả thiết nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳngy = ax + b thì điều này ⇔ y ’ ( x0 ) = a … Quay về dạng 4 .- Khi giả thiết nhu yếu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc tiên phong là tìm tọa độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng … Quay về dạng 1 .

Chú ý:

Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 với a1 là thông số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là thông số góc của đường thẳng d2 .

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 – Xem ngay