Đồng biến, nghịch biến là một trong những tính chất quan trọng và được vận dụng rất nhiều trong khảo sát hàm số và được gọi chung là tính đơn điệu của hàm số. Nhằm giúp bạn đọc nắm vững kiến thức của chuyên đề này, VerbaLearn đã biên soạn bài học khá chi tiết giúp bạn đọc dễ dàng tóm gọn kiến thức và có thêm nhiều ví dụ để vận dụng vào các bài tập chương trình toán lớp 12.
Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào ?
Giả sử K là một khoảng chừng, một đoạn hoặc một nữa khoảng chừng và y = f ( x ) là một hàm số xác lập trên K .+ Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến ( tăng ) trên K nếu : ∀ x1, x2 ∊ f ( x1 ) < f ( x2 )+ Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên K nếu : ∀ x1, x2 ∊ f ( x1 ) > f ( x2 )Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K .
Nhận xét 1
Nếu hàm số f ( x ) và g ( x ) cùng đồng biến ( nghịch biến ) trên D thì hàm số f ( x ) + g ( x ) cũng đồng biến ( nghịch biến ) trên D. Tính chất này hoàn toàn có thể không đúng so với hiệu f ( x ) – g ( x )
Nhận xét 2
Nếu hàm số f ( x ) và g ( x ) là những hàm số dương và cùng đồng biến ( nghịch biến ) trên D thì hàm số f ( x ) ․ g ( x ) cũng đồng biến ( nghịch biến ) trên D. Tính chất này hoàn toàn có thể không đúng khi những hàm số f ( x ) và g ( x ) không là những hàm số dương trên D .
Nhận xét 3
Cho hàm số u = u ( x ) xác lập với x ∊ ( a ; b ) và u ( x ) ∊ ( c ; d ). Hàm số f [ u ( x ) ] cũng xác lập với x ∊ ( a ; b ). Ta có nhận xét sau :Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x ∊ ( a ; b ). Khi đó, hàm số f [ u ( x ) ] đồng biến với x ∊ ( a ; b ) ⇔ f ( u ) đồng biến với u ( x ) ∊ ( c ; d )Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x ∊ ( a ; b ). Khi đó, hàm số f [ u ( x ) ] nghịch biến với x ∊ ( a ; b ) ⇔ f ( u ) nghịch biến với u ( x ) ∊ ( c ; d )
Định lí 1
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó :
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K
Định lí 2.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó :
- Nếu f’(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên K.
- Nếu f’(x) < 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f nghịch biến trên K.
- Nếu f’(x) = 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f không đổi trên K.
Chú ý : Khoảng K trong định lí trên ta hoàn toàn có thể sửa chữa thay thế bởi đoạn hoặc 50% khoảng chừng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng chừng đó ”. Chẳng hạn :Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ’ ( x ) > 0, ∀ x ∊ ( a ; b ) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [ a ; b ]. Ta thường trình diễn qua bảng biến thiên như sau :
Định lí 3. (mở rộng của định lí 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng chừng K. Khi đó :
- Nếu f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.
- Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Phân dạng bài tập tính đồng biến nghịch biến của hàm số
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f ( x )+ ) f ’ ( x ) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy .+ ) f ’ ( x ) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy .Quy tắc :+ ) Tính f ’ ( x ), giải phương trình f ’ ( x ) = 0 tìm nghiệm .+ ) Lập bảng xét dấu f ’ ( x )+ ) Dựa vào bảng xét dấu và Tóm lại .
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực ℝ, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Với mọi x1 > x2 ∊ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )B. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )C. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )D. Với mọi x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )Hướng dẫn giải :Chọn đáp án D .Ta có : f ( x ) đồng biến trên tập số thực ℝ .⇒ x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = -2×3 + 3×2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên ℝB. f ( a ) > f ( b )C. f ( b ) < 0D. f ( a ) < f ( b )Hướng dẫn giải :Chọn đáp án D .Ta có : f ’ ( x ) = - 6x2 + 6 x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ .0 ≤ a < b ⇒ f ( 0 ) ≥ f ( a ) > f ( b )
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m
Kiến thức chung+ ) Để hàm số đồng biến trên khoảng chừng ( a ; b ) thì f ’ ( x ) ≥ 0, ∀ x ∊ ( a ; b ) .+ ) Để hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ( a ; b ) thì f ’ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∊ ( a ; b ) .
*) Riêng hàm số: 
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau :+ ) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y ’ > 0, ∀ x ∊ D .+ ) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y ’ < 0, ∀ x ∊ D .
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì 
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì 
* ) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên ℝ+ ) Tính y = 3 ax2 + 2 bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức ∆ .
+) Để hàm số đồng biến trên ℝ 
+) Để hàm số nghịch biến trên ℝ 
Chú ý : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d+ ) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho | x1 – x2 | = k+ ) Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho | x1 – x2 | = k
Ví dụ 1. Hàm số y = x3 – 3×2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:
A. m ≥ 5B. m ≤ 5
C. 
D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A .Ta có : y ’ = 3×2 – 6 x + m – 2Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y ’ = 3×2 – 6 x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ⇔ ∆ ’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3 m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5
Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x3 – mx2 – (3m + 2) x + 1 đồng biến trên ℝ khi m bằng
A. 
B. 
C. – 2 ≤ m ≤ – 1D. – 2 < m < - 1Hướng dẫn giải :Chọn đáp án CTa có : y ’ = x2 – 2 mx – 3 m + 2Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y ’ = x2 – 2 mx – 3 m + 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ⇔ ∆ ’ ≤ 0 ⇔ mét vuông + 3 m + 2 ≤ 0 ⇔ - 2 ≤ m ≤ - 1
Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương
Bước 1 : Tìm tập xác lậpBước 2 : Tính đạo hàm f ’ ( x ) = 0. Tìm những điểm xi ( i = 1, 2, … n ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác lập .Bước 3 : Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .Bước 4 : Nêu Kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số .
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = x4 – 2×2 + 1
Hàm số xác lập với mọi x ∊ ℝy ’ = 4×3 – 4 x = 4 x ( x2 – 1 )Cho y ’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra :
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2
Hàm số xác lập với mọi x ∊ ℝy ’ = – 4×3 + 2 x = 2 x ( – 2×2 + 1 )
Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc 
hoặc 
hoặcBảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra :
Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
và
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x4 + 2×2 – 1
vàHàm số xác lập với mọi x ∊ ℝy ’ = x3 + 4 x = x ( x2 + 4 )Cho y ’ = 0 ⇒ x = 0 ( do x2 + 4 = 0 vô nghiệm )Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra :
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
Tài liệu về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến [ PDF ]
| Các dạng toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số | |
| Số trang | 59 |
| Tác giả | Thầy Nguyễn Bảo Vương |
| Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số trải qua bảng biến thiên, đồ thị– Dạng 2. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số cho trước– Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên những khoảng chừng xác lập của nó– Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng chừng cho trước– Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng chừng cho trước– Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng chừng cho trước– Dạng 7. Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số f ( u ) khi biết đồ thị hàm số f ‘ ( x )– Dạng 8 : Tìm khoảng chừng đơn điệu của hàm số f ( u ) + g ( x ) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f ’ ( x )
Bài học trên đã trình bày chi tiết về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số và hàng loạt các dạng bài liên quan. Đây là một trong những dạng toán nhỏ phổ biến trong các kì thi toán học. Mong rằng qua bài viết trên bạn đọc đã hiểu khi nào thì hàm số đồng biến và khi nào thì hàm số nghịch biến cùng các dạng toán cơ bản.
Source: https://futurelink.edu.vn
Category: Tin tổng hợp