Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12

Bởi

1. Các kiến thức và kỹ năng cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

– Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

– Hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) được gọi là nghịch biến trên \ ( K \ ) nếu \ ( \ forall { x_1 }, { x_2 } \ in K : { x_1 } < { x_2 } \ Rightarrow f \ left ( { { x_1 } } \ right ) > f \ left ( { { x_2 } } \ right ) \ ) .

Định lý:

Cho hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) xác định và có đạo hàm trên \ ( K \ )

a ) Nếu \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) > 0, \ forall x \ in K \ ) thì hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) đồng biến trên \ ( K \ )
b ) Nếu \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) < 0, \ forall x \ in K \ ) thì hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) nghịch biến trên \ ( K \ )

Định lý mở rộng:Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\)

a ) Nếu \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ ge 0, \ forall x \ in K \ ) và \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ ) chỉ tại 1 số ít hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \ ( K \ )
b ) Nếu \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ le 0, \ forall x \ in K \ ) và \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ ) chỉ tại một số ít hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \ ( K \ )

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

– Bước 2: Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng chừng mà \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) > 0 \ ) là những khoảng chừng đồng biến của hàm số .
+ Các khoảng chừng mà \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) < 0 \ ) là những khoảng chừng nghịch biến của hàm số .

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.

Ta có USD y ‘ = 8 { x ^ 3 }, y ‘ > 0 \ Leftrightarrow x > 0 USD nên hàm số đã cho đồng biến trên $ \ left ( { 0 ; + \ infty } \ right ) USD
\ ( y ‘ < 0 \ Leftrightarrow x < 0 \ ) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \ ( \ left ( { - \ infty ; 0 } \ right ) \ )

Một số trường hợp đặc biệt:

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$ .

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $f’\left( x \right)$.

– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số USD y = f \ left ( x \ right ) USD đồng biến trên $ \ mathbb { R } $ $ \ Leftrightarrow y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) \ geqslant 0, \ forall x \ in $ $ \ mathbb { R } $ và USD y ‘ = 0 $ tại hữu hạn điểm .
+ Hàm số USD y = f \ left ( x \ right ) USD nghịch biến trên $ \ mathbb { R } $ $ \ Leftrightarrow y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) \ leqslant 0, \ forall x \ in $ $ \ mathbb { R } $ và USD y ‘ = 0 $ tại hữu hạn điểm .

– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} – \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên $\mathbb{R}$ ).

Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y’ = {x^2} – 2(m + 1)x – (2m + 3) \ge 0\) \({\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)

\ ( \ Leftrightarrow \ Delta ‘ = { ( m + 1 ) ^ 2 } + ( 2 m + 3 ) \ le 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow { m ^ 2 } + 4 m + 4 \ le 0 \ ) $ \ Leftrightarrow { { ( m + 2 ) } ^ { 2 } } \ le 0 \ Leftrightarrow m + 2 = 0 $ $ \ Leftrightarrow m = – 2 USD
Cho hàm số USD f \ left ( x \ right ) = a { x ^ 2 } + bx + c \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD. Khi đó :
USD \ begin { gathered } f \ left ( x \ right ) \ geqslant 0, \ forall x \ in R \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a > 0 \ hfill \ \ \ Delta \ leqslant 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ f \ left ( x \ right ) \ leqslant 0, \ forall x \ in R \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a < 0 \ hfill \ \ \ Delta \ leqslant 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } $

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số USD y = f \ left ( x \ right ) USD đồng biến trên USD D \ Leftrightarrow y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) \ geqslant 0, \ forall x \ in D $ .
+ Hàm số USD y = f \ left ( x \ right ) USD nghịch biến trên USD D \ Leftrightarrow y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) \ leqslant 0, \ forall x \ in D $ .

– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng :
– Rút $ m USD theo USD x USD sẽ xảy ra một trong hai trường hợp : USD m \ geqslant g \ left ( x \ right ), \ forall x \ in D $ hoặc USD m \ leqslant g \ left ( x \ right ), \ forall x \ in D $ .
– Khảo sát tính đơn điệu của hàm số USD y = g \ left ( x \ right ) USD trên USD D $ .
– Kết luận : $ \ begin { gathered } m \ geqslant g \ left ( x \ right ), \ forall x \ in D \ Rightarrow m \ geqslant \ mathop { \ max } \ limits_D g \ left ( x \ right ) \ hfill \ \ m \ leqslant g \ left ( x \ right ), \ forall x \ in D \ Rightarrow m \ leqslant \ mathop { \ min } \ limits_D g \ left ( x \ right ) \ hfill \ \ \ end { gathered } $

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên \ ( \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) > 0, \ forall x \ in \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ \ – \ dfrac { d } { c } \ notin \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ end { array } \ right. \ )
+ Hàm số nghịch biến trên \ ( \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } y ‘ = f ‘ \ left ( x \ right ) < 0, \ forall x \ in \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ \ - \ dfrac { d } { c } \ notin \ left ( { \ alpha ; \ beta } \ right ) \ end { array } \ right. \ )

– Bước 3: Kết luận.